Somme par différence : (a + b)(a − b)

L'essentiel

La troisième IDENTITÉ REMARQUABLE est la SOMME PAR LA DIFFÉRENCE : (a + b)(a − b) = a² − b². C'est la plus courte des trois. Regarde ce qui se passe quand on développe (x + 4)(x − 4) par la double distributivité : x×x + x×(−4) + 4×x + 4×(−4) = x² − 4x + 4x − 16. Les deux termes du milieu, −4x et +4x, sont OPPOSÉS : leur somme vaut 0, ils s'ANNULENT.

Le double produit DISPARAÎT complètement ! Il ne reste que x² − 16, c'est-à-dire une DIFFÉRENCE DE CARRÉS (le carré de x moins le carré de 4). La formule générale est (a + b)(a − b) = a² − b².

C'est ce qui distingue cette identité des deux carrés : là, pas de terme en x dans le résultat, juste a² − b². Attention à l'ordre du signe : c'est le carré du premier MOINS le carré du second, donc x² − 16 (et non x² + 16). Avec un coefficient, on élève chaque terme au carré : (2x + 3)(2x − 3) = (2x)² − 3² = 4x² − 9 (on a bien (2x)² = 4x²).

Reconnaître la forme (a + b)(a − b) — une même expression, une fois avec +, une fois avec − — est un réflexe précieux : il permettra de FACTORISER une différence de carrés dans la leçon suivante.

Comprendre

(a + b)(a − b) = a² − b². En développant, on obtient a² − ab + ab − b² : les deux termes du milieu sont OPPOSÉS, ils s'annulent (le double produit disparaît), et il reste la différence des carrés a² − b². (x + 4)(x − 4) = x² − 16 : pas de terme en x, car −4x + 4x = 0. Le résultat est une soustraction (carré du premier moins carré du second) : x² − 16, jamais x² + 16. Avec coefficient, chaque terme est élevé au carré : (2x + 3)(2x − 3) = 4x² − 9, car (2x)² = 4x². Le réflexe : repérer la même expression écrite une fois avec + et une fois avec − — c'est le signal de cette identité — puis écrire directement a² − b².

Cette identité est décisive pour la suite : lue à l'envers (a² − b² = (a + b)(a − b)), c'est l'outil de factorisation d'une différence de carrés. Le fil rouge : le double produit disparaît, il reste une différence de carrés.

Le cours

SOMME PAR LA DIFFÉRENCE. La troisième identité remarquable est (a + b)(a − b) = a² − b². D'OÙ VIENT-ELLE ?

On développe par la double distributivité : (a + b)(a − b) = a×a + a×(−b) + b×a + b×(−b) = a² − ab + ab − b². Les deux termes du milieu, −ab et +ab, sont OPPOSÉS : ils s'annulent (−ab + ab = 0). Le double produit DISPARAÎT et il reste a² − b².

C'est la DIFFÉRENCE DES CARRÉS. Exemple : (x + 4)(x − 4) = x² − 4x + 4x − 16 = x² − 16. Le résultat n'a PAS de terme en x. L'ORDRE DU SIGNE.

C'est le carré du premier MOINS le carré du second : (x + 4)(x − 4) = x² − 16 (et non x² + 16). AVEC UN COEFFICIENT. On élève chaque terme au carré : (2x + 3)(2x − 3) = (2x)² − 3² = 4x² − 9. Attention, (2x)² = 4x².

RECONNAÎTRE LA FORME. Cette identité s'utilise quand on multiplie une même expression écrite une fois avec + et une fois avec − : (a + b) et (a − b). Repérer ce motif permet d'écrire directement le résultat, sans développer les quatre produits.

VÉRIFICATION. Pour x = 5 : (5 + 4)(5 − 4) = 9 × 1 = 9 et 5² − 16 = 25 − 16 = 9 : cohérent. VERS LA FACTORISATION.

Lue à l'envers, a² − b² = (a + b)(a − b) : c'est l'outil pour factoriser une différence de carrés (leçon suivante). À RETENIR : (1) (a + b)(a − b) = a² − b² ; (2) le double produit disparaît (les termes du milieu s'annulent), pas de terme en x ; (3) c'est une soustraction de carrés (a² − b², pas a² + b²).

Les erreurs fréquentes

On écrit (x + 4)(x − 4) = x² + 16.

C'est une DIFFÉRENCE de carrés : (a + b)(a − b) = a² − b². (x + 4)(x − 4) = x² − 16 (carré du premier MOINS carré du second).

On garde un terme en x : (x + 4)(x − 4) = x² − 8x − 16 (ou + 8x).

Les termes du milieu s'annulent : −4x + 4x = 0. Le double produit disparaît, il n'y a PAS de terme en x : (x + 4)(x − 4) = x² − 16.

Avec un coefficient, on n'élève pas le coefficient au carré : (2x + 3)(2x − 3) = 2x² − 9.

On élève tout le terme au carré : (2x)² = 4x². Donc (2x + 3)(2x − 3) = 4x² − 9.

Tu maîtrises la notion si…

• Développer (a + b)(a − b) = a² − b² et obtenir une différence de carrés ((x + 4)(x − 4) = x² − 16).
• Décrire pourquoi le double produit disparaît (les termes du milieu −ab et +ab sont opposés et s'annulent).
• Développer une somme par différence avec coefficient ((2x + 3)(2x − 3) = 4x² − 9).

Vérifie que tu as compris

1. Développe (x + 4)(x − 4).

   Réponse x² − 16

   Identité (a + b)(a − b) = a² − b² avec a = x et b = 4 : (x + 4)(x − 4) = x² − 4² = x² − 16. En développant, les termes du milieu −4x et +4x s'annulent : le double produit DISPARAÎT. Il reste la différence des carrés x² − 16 (et non x² + 16 : la différence donne un −).

2. Développe (2x + 3)(2x − 3).

   Réponse 4x² − 9

   Somme par différence (a + b)(a − b) = a² − b² avec a = 2x et b = 3 : (2x + 3)(2x − 3) = (2x)² − 3² = 4x² − 9. On élève 2x au carré, (2x)² = 4x², et les termes du milieu s'annulent (pas de terme en x). Ce n'est pas 4x² + 9.

3. Le produit (x + 9)(x − 9) ne donne aucun terme en x. Pour quelle raison ?

   Réponse les produits −9x et +9x sont opposés et s'annulent

   En développant : x × x = x², x × (−9) = −9x, 9 × x = +9x et 9 × (−9) = −81. Les deux termes du milieu sont opposés, donc leur somme est nulle : il ne reste que x² − 81, la différence des carrés. C'est toute la force de l'identité (a + b)(a − b) = a² − b².