Développer : rappel de la distributivité

L'essentiel

DÉVELOPPER une expression, c'est enlever les parenthèses en transformant un PRODUIT en une SOMME. On distribue chaque terme, comme on l'a appris en 4e. PREMIER OUTIL, la SIMPLE DISTRIBUTIVITÉ : un facteur devant une parenthèse multiplie CHAQUE terme de la parenthèse.

La règle est k(a + b) = ka + kb. Par exemple 3(x + 2) = 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6 : le 3 atteint le x ET le 2, on n'oublie jamais le second terme (3x + 2 serait faux). Avec un facteur négatif, chaque terme change de signe : −2(x + 3) = −2x − 6. SECOND OUTIL, la DOUBLE DISTRIBUTIVITÉ, pour un produit de DEUX sommes : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, ce qui donne QUATRE produits.

La règle est (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Par exemple (x + 2)(x + 5) : on fait x×x = x², x×5 = 5x, 2×x = 2x et 2×5 = 10, ce qui donne x² + 5x + 2x + 10. On RÉDUIT alors les termes semblables 5x + 2x = 7x, et le résultat est x² + 7x + 10. Ce rappel est la rampe de lancement du chapitre : à partir de ces développements, la 3e installe des cas si fréquents qu'on les mémorise — les IDENTITÉS REMARQUABLES.

Comprendre

Développer transforme un produit en somme. Deux outils rappelés de la 4e. (1) Simple distributivité k(a + b) = ka + kb : le facteur multiplie chaque terme, 3(x + 2) = 3x + 6. L'erreur classique est d'oublier le second terme (3x + 2) ou de mal gérer un facteur négatif (−2(x + 3) = −2x − 6, les deux signes changent). (2) Double distributivité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd : chaque terme de gauche multiplie chaque terme de droite, d'où quatre produits, puis on réduit les termes semblables. (x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10 : on ne perd pas les termes du milieu (x² + 10 serait faux), et 2 × 5 = 10, pas 7. Compter les quatre produits AVANT de réduire est le réflexe visé. Ce concept est un rappel : il pose les gestes de développement sur lesquels s'appuient les trois identités remarquables du chapitre, chacune n'étant qu'un développement fréquent que l'on mémorise.

Le fil rouge : distribuer chaque terme, ne rien oublier, puis réduire.

Le cours

DÉVELOPPER. Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme (ou différence) de termes, en supprimant les parenthèses. C'est le geste inverse de factoriser.

SIMPLE DISTRIBUTIVITÉ. Un facteur devant une parenthèse se distribue sur chaque terme : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb. Exemple : 3(x + 2) = 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6. On multiplie bien TOUS les termes : oublier le 2 (écrire 3x + 2) est l'erreur la plus fréquente.

Avec un facteur négatif, tous les termes changent de signe : −2(x + 3) = −2x − 6. DOUBLE DISTRIBUTIVITÉ. Pour un produit de deux sommes, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. On obtient QUATRE produits.

Exemple : (x + 2)(x + 5) = x × x + x × 5 + 2 × x + 2 × 5 = x² + 5x + 2x + 10. RÉDUIRE. On regroupe ensuite les termes semblables (les x avec les x) : 5x + 2x = 7x, d'où (x + 2)(x + 5) = x² + 7x + 10. On ne réduit que des termes semblables : x² + 7x + 10 est réduit (un terme en x², un en x, une constante). VÉRIFICATION.

Pour tester un développement, on peut remplacer x par une valeur : pour x = 1, (1 + 2)(1 + 5) = 3 × 6 = 18 et 1² + 7 × 1 + 10 = 18 : cohérent. VERS LES IDENTITÉS REMARQUABLES. Certains développements reviennent si souvent qu'on les mémorise comme des formules : (a + b)², (a − b)² et (a + b)(a − b).

Ce sont les identités remarquables, cœur de la suite du chapitre. À RETENIR : (1) k(a + b) = ka + kb (distribuer sur chaque terme, gérer le signe) ; (2) (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (quatre produits) ; (3) toujours réduire les termes semblables à la fin.

Les erreurs fréquentes

On oublie de multiplier le second terme : 3(x + 2) = 3x + 2.

Le facteur se distribue sur CHAQUE terme : 3(x + 2) = 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6. Le 3 multiplie aussi le 2.

En double distributivité, on ne fait que deux produits : (x + 2)(x + 5) = x² + 10.

Il y a QUATRE produits : x×x + x×5 + 2×x + 2×5 = x² + 5x + 2x + 10, puis on réduit → x² + 7x + 10. On n'oublie pas les termes du milieu.

Avec un facteur négatif, un seul signe change : −2(x + 3) = −2x + 6.

Le facteur négatif change le signe de TOUS les termes : −2(x + 3) = −2 × x + (−2) × 3 = −2x − 6.

Tu maîtrises la notion si…

• Développer une expression avec la simple distributivité, y compris avec un facteur négatif (3(x + 2) = 3x + 6 ; −2(x + 3) = −2x − 6).
• Développer un produit de deux sommes avec les quatre produits de la double distributivité ((x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10).
• Réduire le résultat en regroupant les termes semblables (x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10).

Vérifie que tu as compris

1. Développe −4(3x + 2).

   Réponse −12x − 8

   Distributivité : le facteur −4 multiplie CHAQUE terme de la parenthèse. −4 × 3x = −12x et −4 × 2 = −8, donc −4(3x + 2) = −12x − 8. Attention au signe : « moins » multiplié par « plus » donne « moins », d'où −8 et non +8. Oublier de multiplier le 2 laisserait −12x − 2, et perdre le signe du facteur donnerait 12x − 8.

2. Développe et réduis (3x − 2)(x + 5).

   Réponse 3x² + 13x − 10

   Double distributivité : (3x − 2)(x + 5) = 3x × x + 3x × 5 + (−2) × x + (−2) × 5 = 3x² + 15x − 2x − 10. On réduit les termes semblables : 15x − 2x = 13x, donc 3x² + 13x − 10. Oublier les termes croisés donnerait 3x² − 10 ; ajouter 2x au lieu de le retrancher donnerait 17x ; et (−2) × 5 vaut bien −10, pas +10.

3. En distribuant le facteur négatif, que devient −5(2x − 3) ?

   Réponse −10x + 15

   Le facteur −5 multiplie CHAQUE terme : −5 × 2x = −10x et −5 × (−3) = +15, donc −5(2x − 3) = −10x + 15. Deux facteurs négatifs donnent un produit positif : c'est le second signe qui change. Oublier de multiplier le 3 par 5 donnerait −10x + 3. Vérification pour x = 1 : −5 × (−1) = 5 et −10 + 15 = 5.