Le carré d'une différence : (a − b)²

L'essentiel

La deuxième IDENTITÉ REMARQUABLE est le CARRÉ D'UNE DIFFÉRENCE : (a − b)² = a² − 2ab + b². Elle ressemble beaucoup à celle du carré d'une somme, avec UNE SEULE différence : le double produit devient NÉGATIF. En effet (a − b)² = (a − b)(a − b) = a×a − a×b − b×a + b×b = a² − 2ab + b².

Regarde bien les signes : le premier terme a² est positif, le double produit −2ab est NÉGATIF, mais le dernier terme b² RESTE POSITIF. Pourquoi ce dernier terme reste-t-il positif ? Parce qu'on multiplie (−b) × (−b) = +b² : deux nombres négatifs se multiplient en un positif.

C'est LE point à ne pas rater. Par exemple (x − 5)² = x² − 2 × x × 5 + 5² = x² − 10x + 25. Le −10x est le double produit négatif, et le +25 est positif (surtout pas −25 !). L'erreur classique est de mettre le dernier terme en négatif : x² − 10x − 25 est faux.

Avec un coefficient : (3x − 2)² = (3x)² − 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² − 12x + 4 (on élève 3x au carré : (3x)² = 9x², et le +4 reste positif). Retiens la comparaison : (a + b)² et (a − b)² ont les MÊMES trois termes a², 2ab, b² ; seul le SIGNE du double produit distingue les deux (+ pour la somme, − pour la différence). Les deux carrés a² et b² sont toujours positifs.

Comprendre

(a − b)² = a² − 2ab + b² : c'est (a − b)(a − b) développé. Par rapport à (a + b)², un seul changement — le double produit devient négatif (−2ab) — mais le carré b² RESTE POSITIF, car (−b)(−b) = +b². Le piège central est de croire que le dernier terme devient négatif : (x − 5)² = x² − 10x + 25, jamais x² − 10x − 25 (le +25 est positif).

Le −10x est le double produit signé négativement. Avec coefficient, on élève le coefficient au carré : (3x − 2)² = 9x² − 12x + 4, car (3x)² = 9x². Le réflexe : écrire a², puis −2ab, puis +b² (deux termes positifs a² et b², le double produit négatif au milieu).

Comparer les deux identités du carré fixe l'idée : mêmes termes, seul le signe du double produit change. Ce concept complète le carré d'une somme et prépare la factorisation d'un carré parfait (x² − 10x + 25 = (x − 5)²).

Le cours

CARRÉ D'UNE DIFFÉRENCE. La deuxième identité remarquable est (a − b)² = a² − 2ab + b². D'OÙ VIENT-ELLE ? (a − b)² = (a − b)(a − b) = a×a − a×b − b×a + (−b)×(−b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b².

LES SIGNES. Trois termes : a² POSITIF, le double produit −2ab NÉGATIF, et b² POSITIF. Le dernier terme reste positif car (−b) × (−b) = +b² (le produit de deux négatifs est positif).

C'est LE piège de cette identité. Exemple : (x − 5)² = x² − 2 × x × 5 + 5² = x² − 10x + 25. Le +25 est positif : écrire x² − 10x − 25 est FAUX. COMPARAISON AVEC LE CARRÉ D'UNE SOMME. (a + b)² = a² + 2ab + b² et (a − b)² = a² − 2ab + b² ont exactement les mêmes termes ; SEUL le signe du double produit change (+ pour la somme, − pour la différence).

Les deux carrés a² et b² sont toujours positifs. AVEC UN COEFFICIENT. On élève le terme entier au carré : (3x − 2)² = (3x)² − 2 × (3x) × 2 + 2² = 9x² − 12x + 4. Attention, (3x)² = 9x² et le dernier terme +4 est positif.

MÉTHODE. On repère a et b, on écrit a², puis on soustrait le double produit 2ab, puis on ajoute b². VÉRIFICATION.

Pour x = 10 : (10 − 5)² = 25 et 10² − 10 × 10 + 25 = 100 − 100 + 25 = 25 : cohérent (alors que 100 − 100 − 25 = −25 ≠ 25, ce qui confirme que le dernier terme est +25). À RETENIR : (1) (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (2) seul le double produit est négatif, le carré b² RESTE POSITIF ; (3) avec un coefficient, on l'élève au carré ((3x)² = 9x²).

Les erreurs fréquentes

On met le dernier terme en négatif : (x − 5)² = x² − 10x − 25.

Le carré b² reste POSITIF, car (−5) × (−5) = +25. (x − 5)² = x² − 10x + 25. Seul le double produit −10x est négatif.

On oublie le double produit : (x − 5)² = x² − 25 (ou x² + 25).

(a − b)² = a² − 2ab + b² comporte un double produit −2ab. (x − 5)² = x² − 2 × x × 5 + 25 = x² − 10x + 25.

Avec un coefficient, on n'élève pas le coefficient au carré : (3x − 2)² = 3x² − 12x + 4.

On élève tout le terme au carré : (3x)² = 3² × x² = 9x². Donc (3x − 2)² = 9x² − 12x + 4.

Tu maîtrises la notion si…

• Développer (a − b)² = a² − 2ab + b² avec le double produit négatif ((x − 5)² = x² − 10x + 25).
• Justifier que le carré b² reste positif dans (a − b)² car (−b)(−b) = +b² (le dernier terme est +25, pas −25).
• Développer un carré d'une différence avec coefficient ((3x − 2)² = 9x² − 12x + 4).

Vérifie que tu as compris

1. Développe (x − 5)².

   Réponse x² − 10x + 25

   Identité (a − b)² = a² − 2ab + b² avec a = x et b = 5 : (x − 5)² = x² − 2×x×5 + 5² = x² − 10x + 25. Seul le double produit change de signe (−10x) ; le carré b² RESTE POSITIF : +25, car (−5)² = +25. Ce n'est pas x² − 25 (double produit oublié).

2. Développe (3x − 2)².

   Réponse 9x² − 12x + 4

   Avec a = 3x et b = 2 : (3x − 2)² = (3x)² − 2×(3x)×2 + 2² = 9x² − 12x + 4. On a (3x)² = 9x², le double produit −2×3x×2 = −12x, et b² = (−2)² = +4 (le dernier terme reste positif, ce n'est pas −4).

3. Dans le développement de (x − 8)², quel est le signe du dernier terme ?

   Réponse positif : (−8)² = +64

   (x − 8)² = x² − 2 × x × 8 + (−8)² = x² − 16x + 64. Seul le DOUBLE PRODUIT change de signe (−16x) ; le dernier terme est un carré, donc toujours positif, car (−8) × (−8) = +64. Le résultat ne dépend pas du signe de x : pour x = 1, (−7)² = 49 et 1 − 16 + 64 = 49.