Le carré d'une somme : (a + b)²

L'essentiel

La première IDENTITÉ REMARQUABLE est le CARRÉ D'UNE SOMME : (a + b)² = a² + 2ab + b². Élever une somme au carré, c'est la multiplier par elle-même : (a + b)² = (a + b)(a + b). En développant par la double distributivité, on obtient a×a + a×b + b×a + b×b = a² + ab + ba + b².

Comme ab = ba, les deux termes du milieu sont IDENTIQUES et se regroupent : a² + 2ab + b². C'est le fameux DOUBLE PRODUIT 2ab, celui qu'il ne faut jamais oublier. LE PIÈGE NUMÉRO UN du chapitre est justement là : (a + b)² n'est PAS a² + b².

Par exemple (x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9, et non x² + 9. Le terme 6x est le double produit ; l'oublier est l'erreur la plus punie aux contrôles. Attention aussi : le double produit vaut 2 × x × 3 = 6x, et non 3x. On peut PROUVER cette formule par une image : un carré de côté a + b a pour aire (a + b)².

Si on le découpe, on voit apparaître un carré a² (en haut à gauche), un carré b² (en bas à droite) et DEUX rectangles identiques de dimensions a × b. L'aire totale est donc a² + 2ab + b² : les deux rectangles ab sautent aux yeux, et on comprend pourquoi le double produit existe. Exemple avec un coefficient : (2x + 1)² = (2x)² + 2 × 2x × 1 + 1² = 4x² + 4x + 1 (on élève bien 2x au carré : (2x)² = 4x²).

Comprendre

(a + b)² = a² + 2ab + b² : c'est (a + b)(a + b) développé, où les deux termes croisés ab et ba se regroupent en 2ab, le double produit. Le point décisif est que (a + b)² ≠ a² + b² : il manque toujours le terme 2ab. (x + 3)² = x² + 6x + 9, pas x² + 9 — le 6x = 2 × x × 3 est le double produit (attention, 2×x×3 = 6x et non 3x). La preuve géométrique fixe l'idée : un carré de côté a + b se découpe en a², b² et deux rectangles ab, d'aire totale a² + 2ab + b².

Avec un coefficient, on élève AUSSI le coefficient au carré : (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1, car (2x)² = 4x². Le réflexe visé : écrire les trois termes dans l'ordre a², puis 2ab, puis b², et vérifier que le double produit est bien présent. Cette identité est la plus utilisée du chapitre ; elle prépare le carré d'une différence (même formule, un signe change) et la factorisation d'un carré parfait.

Le cours

CARRÉ D'UNE SOMME. La première identité remarquable est (a + b)² = a² + 2ab + b². D'OÙ VIENT-ELLE ?

Élever au carré, c'est multiplier par soi-même : (a + b)² = (a + b)(a + b). Par double distributivité : (a + b)(a + b) = a×a + a×b + b×a + b×b = a² + ab + ab + b². Les deux termes du milieu sont égaux (ab = ba), on les additionne : a² + 2ab + b².

Le terme 2ab s'appelle le DOUBLE PRODUIT. PREUVE GÉOMÉTRIQUE. Un carré de côté (a + b) a pour aire (a + b)².

En le partageant, on obtient quatre morceaux : un carré a² (côté a), un carré b² (côté b) et DEUX rectangles a × b. L'aire totale vaut a² + 2ab + b² : on VOIT les deux rectangles ab. LE PIÈGE. (a + b)² n'est PAS a² + b² : il ne faut jamais oublier le double produit 2ab.

Exemple : (x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9 (pas x² + 9). Le double produit vaut 2 × x × 3 = 6x (et non 3x). AVEC UN COEFFICIENT.

On élève chaque partie au carré et on double le produit : (2x + 1)² = (2x)² + 2 × (2x) × 1 + 1² = 4x² + 4x + 1. Attention, (2x)² = 4x² (le coefficient 2 est aussi élevé au carré). MÉTHODE. On repère a et b, puis on écrit dans l'ordre : le carré du premier (a²), le double produit (2ab), le carré du second (b²).

VÉRIFICATION. Pour x = 1 : (1 + 3)² = 16 et 1² + 6 × 1 + 9 = 16 : cohérent (alors que 1² + 9 = 10 ≠ 16, ce qui confirme que x² + 9 est faux). À RETENIR : (1) (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (2) le double produit 2ab est obligatoire, (a + b)² ≠ a² + b² ; (3) avec un coefficient, on l'élève aussi au carré ((2x)² = 4x²).

Les erreurs fréquentes

On écrit (x + 3)² = x² + 9 (on oublie le double produit).

(a + b)² = a² + 2ab + b² : il y a un DOUBLE PRODUIT. (x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9. Le terme 6x ne s'oublie pas.

On écrit le double produit sans le doubler : (x + 3)² = x² + 3x + 9.

Le double produit est 2ab, donc 2 × x × 3 = 6x (pas 3x). (x + 3)² = x² + 6x + 9.

Avec un coefficient, on n'élève pas le coefficient au carré : (2x + 1)² = 2x² + 4x + 1.

On élève TOUT le terme au carré : (2x)² = 2² × x² = 4x². Donc (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1.

Tu maîtrises la notion si…

• Développer (a + b)² = a² + 2ab + b² en écrivant les trois termes, dont le double produit 2ab ((x + 3)² = x² + 6x + 9).
• Justifier que (a + b)² ≠ a² + b² à l'aide de la double distributivité ou de l'aire d'un carré de côté a + b.
• Développer un carré avec coefficient en élevant le coefficient au carré ((2x + 1)² = 4x² + 4x + 1).

Vérifie que tu as compris

1. Développe (x + 3)².

   Réponse x² + 6x + 9

   Identité (a + b)² = a² + 2ab + b² avec a = x et b = 3 : (x + 3)² = x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9. Le piège est d'oublier le DOUBLE PRODUIT 2ab = 6x : (x + 3)² n'est PAS x² + 9. Le double produit vaut 2×x×3 = 6x, et non 3x.

2. Développe (2x + 1)².

   Réponse 4x² + 4x + 1

   Avec a = 2x et b = 1 : (2x + 1)² = (2x)² + 2×(2x)×1 + 1² = 4x² + 4x + 1. Attention, (2x)² = 4x² (on élève AUSSI le 2 au carré) et le double produit vaut 2×2x×1 = 4x. Ce n'est ni 4x² + 1 (double produit oublié) ni 2x² + 1.

3. Un carré de côté a + b se découpe en un carré d'aire a², un carré d'aire b² et deux rectangles identiques. Quelle est l'aire de chacun de ces rectangles ?

   Réponse ab

   Chaque rectangle a pour dimensions a et b : son aire vaut donc ab. Comme il y en a DEUX, ils apportent ensemble 2ab. L'aire totale du grand carré, (a + b)², vaut ainsi a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² : le découpage donne à voir le double produit.