Sections planes d'un pavé droit et d'un prisme droit

L'essentiel

« Couper » un solide par un plan, c'est comme le trancher au couteau : la surface plane que l'on voit apparaître à l'endroit de la coupe s'appelle la SECTION. Ce chapitre étudie la forme de cette section selon le solide et selon la façon dont on coupe. Commençons par les solides à faces planes : le pavé droit (la boîte) et le prisme droit.

Règle du PAVÉ DROIT : si on le coupe par un plan PARALLÈLE à une face, la section est un RECTANGLE identique à cette face — mêmes longueur et largeur. Imagine une boîte d'allumettes que tu tranches bien droit, parallèlement à sa face du dessus : la coupe est un rectangle exactement de la même taille que le dessus. Ce n'est pas surprenant : un pavé a la même « épaisseur » partout, donc partout où le plan parallèle passe, il recopie la face.

Règle plus générale du PRISME DROIT : un prisme droit a deux bases identiques (des polygones) reliées par des rectangles. Si on le coupe par un plan PARALLÈLE aux bases, la section est un polygone IDENTIQUE à la base. Par exemple, un prisme à base triangulaire coupé parallèlement à ses bases donne un triangle identique à la base ; un prisme à base hexagonale donne un hexagone.

Le pavé droit n'est qu'un cas particulier de prisme (sa base est un rectangle). Attention : cette règle vaut pour un plan PARALLÈLE à la face (ou aux bases). Si le plan est incliné, la section peut avoir une autre forme.

À retenir : section d'un pavé par un plan parallèle à une face = rectangle identique à la face ; section d'un prisme par un plan parallèle aux bases = polygone identique à la base.

Comprendre

Ce concept introduit la notion de SECTION plane et l'applique aux solides à faces planes. La section d'un solide par un plan est la figure plane qui apparaît à l'endroit de la coupe. Résultat clé pour le PAVÉ DROIT : la section par un plan PARALLÈLE à une face est un RECTANGLE identique à cette face (mêmes dimensions), car le pavé a une section constante dans cette direction.

Généralisation au PRISME DROIT : la section par un plan PARALLÈLE aux bases est un polygone identique à la base (triangle pour un prisme triangulaire, hexagone pour un prisme hexagonal…). Le pavé droit est le cas particulier où la base est un rectangle. Point essentiel : la condition « plan parallèle à la face / aux bases » ; un plan incliné donnerait une autre figure.

Erreurs classiques : croire que la section est plus petite (ou plus grande) que la face alors qu'elle lui est identique ; oublier la condition de parallélisme ; confondre la section (figure plane à l'intérieur) avec une face du solide. Ce concept fait le pont entre les solides à faces planes et les solides ronds du concept suivant (cylindre, cône), où le même raisonnement — la forme de la section dépend du solide et de l'orientation du plan — donnera des disques et des rectangles.

Le cours

SECTIONS PLANES D'UN PAVÉ DROIT ET D'UN PRISME DROIT. Qu'est-ce qu'une section ? Couper un solide par un plan, c'est le trancher : la figure plane qui apparaît à l'endroit de la coupe s'appelle la SECTION du solide par le plan.

C'est une figure plane (rectangle, triangle, disque, cercle… selon les cas). Le pavé droit. Un pavé droit (une « boîte ») a six faces rectangulaires.

Règle : si on coupe un pavé droit par un plan PARALLÈLE à une face, la section est un RECTANGLE IDENTIQUE à cette face — il a les mêmes dimensions (longueur et largeur). Pourquoi ? Parce que le pavé a la même forme tout le long de la direction perpendiculaire à cette face : partout où passe le plan parallèle, il rencontre le même rectangle.

Le prisme droit. Un prisme droit est un solide formé de deux bases IDENTIQUES et PARALLÈLES (des polygones) reliées par des faces rectangulaires. Règle : si on coupe un prisme droit par un plan PARALLÈLE aux bases, la section est un POLYGONE IDENTIQUE à la base.

Exemples : un prisme à base triangulaire donne un triangle identique à la base ; un prisme à base pentagonale donne un pentagone identique à la base. Le pavé droit est un prisme dont la base est un rectangle : sa règle est donc un cas particulier de celle du prisme. Attention à l'orientation du plan.

Ces résultats supposent un plan PARALLÈLE à la face (ou aux bases). Un plan incliné donnerait une section de forme différente (par exemple un parallélogramme au lieu d'un rectangle). Dans ce chapitre, on se limite aux plans parallèles à une face ou aux bases.

Méthode pour reconnaître la section. (1) Identifier le solide (pavé, prisme) et sa base / ses faces. (2) Vérifier que le plan est parallèle à une face (ou aux bases). (3) Conclure : la section est identique à cette face (ou à la base). Points de vigilance. (1) La section est IDENTIQUE à la face (ou base), ni plus petite ni plus grande. (2) La condition de parallélisme est indispensable. (3) Ne pas confondre la section (figure plane dans le solide) avec une face extérieure du solide. À retenir : section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face = rectangle identique à la face ; section d'un prisme droit par un plan parallèle aux bases = polygone identique à la base.

Les erreurs fréquentes

On croit que la section d'un pavé par un plan parallèle à une face est plus petite (ou plus grande) que cette face.

La section est un rectangle IDENTIQUE à la face à laquelle le plan est parallèle : mêmes longueur et largeur. Le pavé a la même forme tout le long, donc le plan recopie exactement la face.

On oublie la condition de parallélisme et on applique la règle à n'importe quel plan.

Le résultat (rectangle identique / polygone identique à la base) suppose un plan PARALLÈLE à la face ou aux bases. Un plan incliné donne une section de forme différente. Il faut toujours vérifier l'orientation du plan.

On confond la section avec une face du solide, ou on pense que couper un prisme triangulaire donne un rectangle.

La section est la figure plane qui apparaît À L'INTÉRIEUR, à l'endroit de la coupe. Pour un prisme droit coupé parallèlement aux bases, elle est IDENTIQUE à la base : un prisme à base triangulaire donne un triangle (identique à la base), pas un rectangle.

Tu maîtrises la notion si…

• Définir la section d'un solide par un plan comme la figure plane apparaissant à l'endroit de la coupe.
• Déterminer la section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face : un rectangle identique à cette face.
• Déterminer la section d'un prisme droit par un plan parallèle aux bases : un polygone identique à la base.
• Repérer l'importance de la condition « plan parallèle à la face / aux bases ».

Vérifie que tu as compris

1. On coupe un pavé droit par un plan parallèle à l'une de ses faces. Quelle est la section obtenue ?

   Réponse un rectangle identique à cette face

   La section d'un pavé droit par un plan PARALLÈLE à une face est un RECTANGLE identique à cette face (mêmes dimensions). Le plan « recopie » la face qu'il rencontre.

2. On coupe un prisme droit à base triangulaire par un plan parallèle à ses bases. Quelle est la section ?

   Réponse un triangle identique à la base

   La section d'un prisme droit par un plan PARALLÈLE aux bases est un polygone IDENTIQUE à la base. Ici la base est un triangle, donc la section est un triangle identique à la base. C'est la généralisation du cas du pavé (dont la base est un rectangle).

3. Deux plans parallèles à la même face d'un pavé droit le coupent à des endroits différents. Que dire des deux sections obtenues ?

   Réponse elles sont identiques : mêmes dimensions que cette face

   La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle IDENTIQUE à cette face, où que l'on coupe : le plan recopie la face qu'il rencontre. Deux coupes parallèles à la même face donnent donc deux rectangles superposables, la position du plan ne change rien.