Section d'un cylindre et d'un cône de révolution

L'essentiel

On passe aux solides RONDS : le cylindre et le cône. La forme de la section dépend de l'orientation du plan. Le CYLINDRE d'abord.

Si on le coupe par un plan PERPENDICULAIRE à l'axe (bien droit, comme trancher un saucisson), la section est un DISQUE de MÊME rayon que le cylindre : le plan recopie le disque de base. Si au contraire on le coupe par un plan PARALLÈLE à l'axe (dans le sens de la hauteur, en contenant l'axe), la section est un RECTANGLE : sa largeur est le diamètre du cylindre et sa hauteur est celle du cylindre. Donc pour un même cylindre, la coupe peut être un disque (plan perpendiculaire à l'axe) ou un rectangle (plan parallèle à l'axe) : tout dépend de la direction du plan.

Le CÔNE de révolution ensuite. Si on le coupe par un plan PERPENDICULAIRE à l'axe (parallèle au disque de base), la section est aussi un DISQUE, mais PLUS PETIT que le disque de base : c'est une RÉDUCTION. Pourquoi plus petit ?

Parce que le cône se rétrécit en montant vers le sommet : plus le plan se rapproche du sommet, plus le disque obtenu est petit (et au sommet, il se réduit à un point). C'est la grande différence avec le cylindre, dont le rayon est constant : dans le cylindre, la section perpendiculaire garde le même rayon ; dans le cône, elle rétrécit. À retenir : cylindre, plan ⊥ axe → disque de même rayon ; cylindre, plan ∥ axe → rectangle ; cône, plan ⊥ axe → disque plus petit (réduction du disque de base).

Comprendre

Ce concept traite les sections des solides ronds à section circulaire : le cylindre et le cône. Pour le CYLINDRE, la forme dépend de l'orientation du plan : un plan PERPENDICULAIRE à l'axe donne un DISQUE de MÊME rayon que le cylindre (le plan recopie le disque de base) ; un plan PARALLÈLE à l'axe (le contenant) donne un RECTANGLE (largeur = diamètre, hauteur = hauteur du cylindre). Pour le CÔNE de révolution, un plan PERPENDICULAIRE à l'axe donne un DISQUE plus petit que le disque de base : c'est une RÉDUCTION, car le cône se rétrécit vers le sommet (plus le plan monte, plus le disque est petit ; au sommet, réduit à un point).

Contraste clé avec le cylindre : rayon constant (disque de même taille) vs rayon qui diminue (disque réduit). Ce raisonnement — la section dépend du solide ET de l'orientation du plan — prolonge exactement celui du concept précédent (pavé/prisme donnaient rectangle/polygone). Erreurs classiques : croire que la section du cône garde le rayon de la base (oublier la réduction) ; croire que toute coupe d'un cylindre est un disque (oublier le rectangle du plan parallèle à l'axe) ; confondre perpendiculaire et parallèle à l'axe.

Ce concept prépare le dernier : la section d'une SPHÈRE, toujours un cercle, grand ou petit selon la position du plan par rapport au centre.

Le cours

SECTION D'UN CYLINDRE ET D'UN CÔNE DE RÉVOLUTION. On étudie maintenant les solides ronds : la forme de la section dépend du solide et de l'orientation du plan de coupe. Le cylindre de révolution.

Un cylindre est engendré par un rectangle qui tourne autour d'un axe ; il a deux disques de base identiques et une hauteur. Deux coupes à connaître. (1) Plan PERPENDICULAIRE à l'axe (parallèle aux bases) : la section est un DISQUE de MÊME rayon que le cylindre. Comme le rayon du cylindre est constant, partout où passe ce plan, on retrouve le même disque de base (image du saucisson tranché bien droit). (2) Plan PARALLÈLE à l'axe et le contenant : la section est un RECTANGLE.

Sa largeur est le diamètre du cylindre (2 × rayon) et sa hauteur est la hauteur du cylindre. Ainsi, un même cylindre peut donner un disque OU un rectangle selon la direction du plan. Le cône de révolution.

Un cône est engendré par un triangle rectangle qui tourne autour d'un côté de l'angle droit ; il a un disque de base, un sommet et une hauteur. Coupe à connaître : plan PERPENDICULAIRE à l'axe (parallèle au disque de base). La section est un DISQUE, mais PLUS PETIT que le disque de base : c'est une RÉDUCTION du disque de base.

Raison : le cône se rétrécit à mesure qu'on monte vers le sommet. Plus le plan est proche du sommet, plus le disque de la section est petit ; au niveau du sommet, il se réduit à un point. Le contraste cylindre / cône.

Dans le cylindre, le rayon est CONSTANT : une coupe perpendiculaire à l'axe garde le rayon de la base. Dans le cône, le rayon DIMINUE vers le sommet : une coupe perpendiculaire à l'axe donne un disque plus petit. Méthode pour reconnaître la section. (1) Identifier le solide (cylindre, cône). (2) Repérer l'orientation du plan par rapport à l'axe : perpendiculaire ou parallèle. (3) Conclure : cylindre + plan ⊥ axe → disque de même rayon ; cylindre + plan ∥ axe → rectangle ; cône + plan ⊥ axe → disque plus petit (réduction).

Points de vigilance. (1) Ne pas confondre « perpendiculaire à l'axe » (coupe droite → disque) et « parallèle à l'axe » (coupe en longueur → rectangle). (2) Pour le cône, ne pas oublier que le disque de la section est PLUS PETIT que la base : c'est une réduction. (3) Le disque de la section d'un cylindre a exactement le rayon du cylindre ; celui d'un cône, un rayon plus petit que la base. À retenir : cylindre, plan ⊥ axe → disque de même rayon ; cylindre, plan ∥ axe → rectangle ; cône, plan ⊥ axe → disque plus petit que la base (réduction).

Les erreurs fréquentes

On croit que la section d'un cône par un plan perpendiculaire à l'axe est un disque de même rayon que la base.

Le cône se rétrécit vers le sommet : la section par un plan perpendiculaire à l'axe est un disque PLUS PETIT que le disque de base (une réduction). Plus le plan est proche du sommet, plus le disque est petit. Seul le CYLINDRE garde le même rayon (car son rayon est constant).

On pense que toute coupe d'un cylindre donne un disque.

Cela dépend de l'orientation du plan. Un plan PERPENDICULAIRE à l'axe donne un disque (de même rayon). Un plan PARALLÈLE à l'axe (le contenant) donne un RECTANGLE (largeur = diamètre, hauteur = hauteur du cylindre).

On confond « plan perpendiculaire à l'axe » et « plan parallèle à l'axe ».

Perpendiculaire à l'axe = coupe « droite », transversale (comme trancher un saucisson) → disque. Parallèle à l'axe = coupe « dans la longueur », contenant l'axe → rectangle. L'orientation du plan par rapport à l'axe décide de la forme de la section.

Tu maîtrises la notion si…

• Déterminer la section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à l'axe : un disque de même rayon que le cylindre.
• Déterminer la section d'un cylindre par un plan parallèle à l'axe : un rectangle.
• Déterminer la section d'un cône par un plan perpendiculaire à l'axe : un disque plus petit que la base (réduction).
• Distinguer le comportement du cylindre (rayon constant) et du cône (rayon qui diminue vers le sommet).

Vérifie que tu as compris

1. On coupe un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe. Quelle est la section obtenue ?

   Réponse un disque de même rayon que le cylindre

   La section d'un cylindre par un plan PERPENDICULAIRE à l'axe est un DISQUE de MÊME rayon que le cylindre (comme trancher un saucisson bien droit). Si le plan était parallèle à l'axe, on obtiendrait un rectangle.

2. On coupe un cône de révolution par un plan perpendiculaire à son axe (entre le sommet et la base). Quelle est la section ?

   Réponse un disque plus petit que celui de la base

   La section d'un cône par un plan PERPENDICULAIRE à l'axe est un DISQUE, mais PLUS PETIT que le disque de base : c'est une réduction. Plus le plan se rapproche du sommet, plus le disque obtenu est petit.

3. Quelle figure apparaît TOUJOURS lorsqu'un cône de révolution est tranché suivant un plan contenant son axe ?

   Réponse un triangle isocèle

   Un plan contenant l'axe coupe le cône dans toute sa hauteur : on voit apparaître le sommet et les deux génératrices qui descendent jusqu'au bord du disque de base. Ces deux génératrices ont la même longueur, donc la section est un TRIANGLE ISOCÈLE de base le diamètre. C'est un plan PERPENDICULAIRE à l'axe qui donnerait un disque. (Pour un cône dont l'angle au sommet mesure 90°, ce triangle isocèle se trouve être aussi rectangle : « rectangle » n'est donc pas TOUJOURS vrai, « isocèle » si.)