Section d'une sphère par un plan (grand cercle et petit cercle)

L'essentiel

Dernière question du chapitre : que se passe-t-il quand on coupe une SPHÈRE par un plan ? Réponse simple à retenir : on obtient TOUJOURS un CERCLE. Jamais un ovale, jamais un polygone : un cercle.

Mais ce cercle n'a pas toujours la même taille, et c'est là tout le sel. Deux cas. Premier cas : le plan PASSE PAR LE CENTRE O de la sphère.

Alors le cercle obtenu est le plus GRAND possible : c'est un GRAND CERCLE, de rayon R (le rayon de la sphère lui-même). Deuxième cas : le plan NE passe PAS par le centre O. Alors le cercle est plus PETIT : c'est un PETIT CERCLE, de rayon r < R. Et plus le plan s'éloigne du centre, plus le cercle est petit (jusqu'à se réduire à un point quand le plan devient tangent à la sphère). L'application phare, c'est la TERRE, que l'on assimile à une sphère.

Le plan de l'ÉQUATEUR passe par le centre de la Terre : c'est un GRAND CERCLE. Les MÉRIDIENS (les lignes qui vont d'un pôle à l'autre) ont eux aussi un plan qui passe par le centre — mais un méridien s'arrête aux pôles : il ne fait que la MOITIÉ du tour, c'est un DEMI-grand cercle. Réuni à son antiméridien (le méridien opposé), il forme un grand cercle entier.

En revanche, les PARALLÈLES (les cercles horizontaux comme le tropique du Cancer ou le cercle polaire) ont un plan qui ne passe PAS par le centre de la Terre : ce sont des PETITS CERCLES, d'autant plus petits qu'on se rapproche des pôles. C'est pourquoi, sur un globe, l'équateur est le plus grand cercle horizontal, et les parallèles rétrécissent en montant vers les pôles. À retenir : section d'une sphère par un plan = un cercle ; grand cercle (rayon R) si le plan passe par O, petit cercle (r < R) sinon ; sur la Terre, équateur = grand cercle, méridien = DEMI-grand cercle, parallèles = petits cercles.

Comprendre

Ce concept clôt le chapitre par la section de la sphère, en réutilisant la notion de grand cercle (SPH_3E_001). Résultat central : la section d'une sphère par un plan est TOUJOURS un CERCLE. La taille de ce cercle dépend de la position du plan par rapport au centre O : si le plan PASSE PAR O, c'est un GRAND CERCLE de rayon R (maximal) ; sinon, c'est un PETIT CERCLE de rayon r < R, d'autant plus petit que le plan s'éloigne du centre (réduit à un point quand le plan est tangent).

Application phare, la TERRE assimilée à une sphère : les plans de l'équateur et des méridiens passent par le centre → l'équateur est un grand cercle, un méridien un DEMI-grand cercle (méridien + antiméridien = un grand cercle) ; les parallèles (tropiques, cercles polaires) ne passent pas par le centre → petits cercles, décroissants vers les pôles. Ce concept parachève la logique du chapitre : la forme de la section dépend du solide et du plan (ici, toujours un cercle, mais grand ou petit selon que le plan passe ou non par O). Erreurs classiques : croire que la section d'une sphère est un disque plein (c'est un cercle, une ligne — la sphère étant une surface, sa section est une courbe) ; penser que tout cercle de la sphère a le rayon R (faux : seuls les grands cercles) ; croire que tous les parallèles terrestres sont des grands cercles (seul l'équateur l'est).

Il fait écho à SPH_3E_004 (le cône rétrécit) : ici c'est l'éloignement au centre qui fait rétrécir le cercle.

Le cours

SECTION D'UNE SPHÈRE PAR UN PLAN. Le résultat fondamental. Quand on coupe une sphère de centre O et de rayon R par un plan, la section est TOUJOURS un CERCLE.

C'est vrai quelle que soit la position du plan (du moment qu'il coupe la sphère) : jamais un ovale, jamais un polygone, toujours un cercle. La taille dépend de la position du plan. Ce qui change, c'est le RAYON du cercle obtenu, selon la distance du plan au centre O. (1) Le plan PASSE PAR LE CENTRE O : le cercle obtenu est le plus GRAND possible, de rayon R. C'est un GRAND CERCLE (le même objet qu'au premier concept du chapitre). (2) Le plan NE passe PAS par le centre O : le cercle est plus PETIT, de rayon r < R. C'est un PETIT CERCLE.

Plus le plan s'éloigne du centre, plus r est petit ; à la limite, quand le plan est tangent à la sphère, le cercle se réduit à un point. Pourquoi un cercle et pas un disque ? La sphère est une SURFACE (la peau) : sa section est donc une LIGNE, le bord — un cercle.

Si on coupait la BOULE (le solide plein), on obtiendrait un disque plein, dont le bord est ce cercle. Application : la Terre. On assimile la Terre à une sphère de centre O (son centre).

L'ÉQUATEUR est le cercle qui partage la Terre en deux hémisphères égaux : son plan passe par le centre O, c'est donc un GRAND CERCLE. Les MÉRIDIENS, qui relient le pôle Nord au pôle Sud, ont eux aussi un plan qui passe par le centre ; mais un méridien s'arrête aux pôles, il ne parcourt que la MOITIÉ du cercle : c'est un DEMI-grand cercle. Un méridien et son antiméridien (le méridien opposé) forment ensemble un grand cercle entier.

Les PARALLÈLES (cercles horizontaux : tropiques, cercles polaires…) ont un plan qui ne passe PAS par le centre O : ce sont des PETITS CERCLES. Ils sont d'autant plus petits qu'ils sont proches d'un pôle ; le plus grand des parallèles est l'équateur (qui, lui, est un grand cercle). Méthode. (1) Reconnaître que la section d'une sphère par un plan est un cercle. (2) Regarder si le plan passe par le centre O : oui → grand cercle (rayon R) ; non → petit cercle (rayon r < R). (3) Sur la Terre : les plans de l'équateur et des méridiens passent par le centre (l'équateur est un grand cercle, un méridien un demi-grand cercle), ceux des autres parallèles non (petits cercles).

Points de vigilance. (1) La section d'une SPHÈRE est un cercle (une ligne), pas un disque plein — c'est la section de la BOULE qui serait un disque. (2) Seuls les cercles dont le plan passe par O ont pour rayon R ; les autres sont plus petits. (3) Sur la Terre, seul l'équateur est un grand cercle parmi les parallèles ; tropiques et cercles polaires sont des petits cercles. À retenir : section d'une sphère par un plan = cercle ; grand cercle (rayon R) si le plan passe par O, petit cercle (r < R) sinon ; sur la Terre, l'équateur est un grand cercle, un méridien un demi-grand cercle, les parallèles des petits cercles.

Les erreurs fréquentes

On croit que la section d'une sphère par un plan est un disque plein.

La sphère est une SURFACE (la peau) : sa section par un plan est une LIGNE, c'est-à-dire un CERCLE (le bord). C'est la section de la BOULE (solide plein) qui donnerait un disque plein, dont le bord est justement ce cercle.

On pense que tout cercle obtenu en coupant une sphère a pour rayon R.

Seuls les GRANDS CERCLES ont pour rayon R : ce sont ceux dont le plan passe par le centre O. Si le plan ne passe pas par O, le cercle est un PETIT CERCLE de rayon r < R, d'autant plus petit que le plan est loin du centre.

On croit que tous les parallèles de la Terre (équateur, tropiques, cercles polaires) sont des grands cercles.

Parmi les parallèles, SEUL l'équateur a un plan qui passe par le centre de la Terre : c'est le seul grand cercle. Les autres parallèles (tropiques, cercles polaires) ont un plan qui ne passe pas par le centre : ce sont des petits cercles, d'autant plus petits qu'ils sont proches d'un pôle. Les méridiens, eux, ont bien un plan passant par le centre, mais chacun s'arrête aux pôles : un méridien est un DEMI-grand cercle.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que la section d'une sphère par un plan est toujours un cercle.
• Distinguer un grand cercle (plan passant par le centre O, rayon R) d'un petit cercle (plan ne passant pas par O, rayon r < R).
• Justifier que la section d'une sphère est un cercle (ligne) et non un disque plein (la sphère est une surface).
• Sur la Terre, reconnaître que l'équateur est un grand cercle, qu'un méridien en est un demi (méridien + antiméridien = un grand cercle) et que les autres parallèles sont des petits cercles.

Vérifie que tu as compris

1. On coupe une sphère par un plan qui passe par son centre O. Quelle est la section ?

   Réponse un grand cercle, de rayon R

   La section d'une sphère par un plan est toujours un CERCLE. Si le plan PASSE PAR LE CENTRE O, ce cercle est un GRAND CERCLE, de rayon R (le plus grand possible). Si le plan ne passait pas par O, on obtiendrait un petit cercle de rayon r < R.

2. La Terre est assimilée à une sphère. Parmi ces lignes, laquelle est un GRAND CERCLE ?

   Réponse l'équateur (son plan passe par le centre de la Terre)

   Les plans de l'équateur et des méridiens passent par le centre de la Terre : l'équateur est donc un GRAND CERCLE (rayon = rayon de la Terre), et un méridien, qui s'arrête aux pôles, en est un DEMI (méridien + antiméridien = un grand cercle entier). Les autres parallèles (tropiques, cercles polaires…) ont un plan qui ne passe pas par le centre : ce sont des PETITS CERCLES, d'autant plus petits qu'on se rapproche des pôles.

3. Parmi ces figures, laquelle ne peut JAMAIS être obtenue en coupant une sphère par un plan ?

   Réponse un rectangle

   Toute section d'une sphère par un plan est un CERCLE : un grand cercle si le plan passe par le centre O (rayon R), un petit cercle sinon (rayon r plus petit que R). Un rectangle est impossible : ce serait la section d'un solide à faces planes comme le pavé droit, pas d'une sphère.