La sphère et la boule (centre O, rayon R)

L'essentiel

Imagine un ballon de baudruche gonflé : sa peau, sans l'air à l'intérieur, c'est une SPHÈRE. Maintenant imagine une bille pleine : le caoutchouc ET tout l'intérieur, c'est une BOULE. Voilà toute la différence du chapitre.

La SPHÈRE de centre O et de rayon R, c'est la SURFACE : l'ensemble de tous les points qui sont EXACTEMENT à la distance R du centre O — ni plus près, ni plus loin. C'est creux, c'est juste l'enveloppe. La BOULE de centre O et de rayon R, c'est le SOLIDE PLEIN : l'ensemble de tous les points qui sont à une distance INFÉRIEURE OU ÉGALE à R de O — donc la surface ET tout l'intérieur.

La sphère est la « peau », la boule est le « plein ». Le rayon R, c'est la distance du centre O jusqu'à la surface ; le diamètre vaut 2 × R (il traverse la boule de part en part en passant par O). Un mot de vocabulaire important : le GRAND CERCLE.

Si tu traces sur la sphère un cercle dont le plan passe par le centre O (par exemple l'équateur sur un globe), tu obtiens le plus grand cercle possible sur cette sphère : son rayon est R. On l'appelle un grand cercle. Les cercles de la sphère dont le plan ne passe pas par O (comme les parallèles plus proches des pôles) sont forcément plus petits. À retenir : sphère = surface (peau) ; boule = solide plein ; les deux ont le même centre O et le même rayon R ; grand cercle = cercle de la sphère qui passe par O.

Comprendre

Ce concept pose le vocabulaire fondamental de la géométrie dans l'espace de la 3e et la distinction que tout le chapitre réutilise : SPHÈRE ≠ BOULE. La SPHÈRE de centre O et de rayon R est une SURFACE : l'ensemble des points à la distance EXACTEMENT R de O. La BOULE de centre O et de rayon R est un SOLIDE PLEIN : l'ensemble des points à distance ≤ R de O (surface + intérieur). Image mentale : la sphère est la peau (ballon de baudruche), la boule est le plein (bille).

Les deux partagent le même centre O et le même rayon R ; le diamètre vaut 2R. Le GRAND CERCLE est le cercle de la sphère dont le plan passe par le centre O ; c'est le plus grand cercle possible sur la sphère, de rayon R (sur un globe : l'équateur ; un méridien, qui ne va que d'un pôle à l'autre, n'en est que la MOITIÉ — avec son antiméridien il forme un grand cercle entier). Erreurs classiques : dire « sphère » pour parler du solide plein (c'est la boule), croire que la sphère « contient » quelque chose (elle est creuse, c'est juste la surface), ou penser qu'un grand cercle peut avoir un rayon différent de R. Cette distinction est décisive pour la suite : au concept suivant, l'AIRE (en R²) mesure la sphère (une surface) tandis que le VOLUME (en R³) mesure la boule (un solide) ; plus loin, la section d'une sphère par un plan est un cercle, grand ou petit selon qu'il passe ou non par O.

Le cours

LA SPHÈRE ET LA BOULE. Deux objets, une seule différence. On considère un centre O et une distance R appelée rayon.

La SPHÈRE de centre O et de rayon R est la SURFACE : l'ensemble de tous les points de l'espace situés EXACTEMENT à la distance R de O. C'est une enveloppe creuse — la « peau ». Exemple : un ballon de baudruche (juste le caoutchouc), une balle de ping-pong (juste la coque). La BOULE de centre O et de rayon R est le SOLIDE PLEIN : l'ensemble de tous les points situés à une distance INFÉRIEURE OU ÉGALE à R de O. C'est plein — la surface plus tout l'intérieur.

Exemple : une bille, une boule de pétanque. Vocabulaire commun. Le CENTRE O est le point du milieu.

Le RAYON R est la distance de O à un point de la surface. Le DIAMÈTRE vaut 2 × R : c'est un segment qui traverse la boule de part en part en passant par O. La condition sur la distance. Un point M appartient à la sphère si OM = R (exactement).

Un point M appartient à la boule si OM ≤ R (dessus ou dedans). Le grand cercle. Si on trace sur la sphère un cercle dont le PLAN PASSE PAR LE CENTRE O, on obtient un GRAND CERCLE : c'est le plus grand cercle qu'on puisse dessiner sur la sphère, et son rayon est R. Sur un globe terrestre, l'équateur est un grand cercle.

Un MÉRIDIEN, lui, ne va que d'un pôle à l'autre : c'est un DEMI-grand cercle ; réuni à son antiméridien (le méridien opposé), il forme un grand cercle entier. Un cercle de la sphère dont le plan NE passe PAS par O est plus petit (rayon inférieur à R). Points de vigilance. (1) Ne pas confondre sphère et boule : la sphère est la surface (creuse), la boule est le solide plein.

Le langage courant dit « une boule de billard » mais aussi, par abus, « la sphère terrestre » alors qu'on pense au globe plein : en maths, on distingue toujours les deux. (2) La sphère ne « contient » rien : elle est juste l'enveloppe. (3) Un grand cercle a toujours pour rayon R : ce qui le définit, c'est que son PLAN passe par le centre O. À retenir : sphère = surface (points à la distance R de O) ; boule = solide plein (distance ≤ R) ; même centre O, même rayon R, diamètre 2R ; grand cercle = cercle de la sphère dont le plan passe par O (rayon R).

Les erreurs fréquentes

On confond la sphère et la boule : on croit que la sphère est le solide plein.

La SPHÈRE est la SURFACE : seulement la « peau », l'ensemble des points à la distance R de O (elle est creuse). La BOULE est le SOLIDE PLEIN : la surface ET tout l'intérieur (distance ≤ R). Ballon de baudruche = sphère ; bille = boule.

On pense que la sphère « contient » un volume, comme un récipient rempli.

La sphère est seulement l'enveloppe, elle ne contient rien : c'est une surface. C'est la BOULE qui est pleine et possède un volume. La sphère, elle, possède une aire (l'aire de sa surface).

On croit qu'un grand cercle peut avoir un rayon différent de R selon l'endroit où on le trace.

Un grand cercle est, par définition, un cercle de la sphère dont le PLAN PASSE PAR LE CENTRE O. C'est toujours le plus grand cercle possible sur la sphère, et son rayon est TOUJOURS R. Un cercle de la sphère dont le plan ne passe pas par O est plus petit (rayon < R).

Tu maîtrises la notion si…

• Distinguer la sphère (surface, points à la distance R de O) de la boule (solide plein, points à distance ≤ R de O) et donner un exemple concret de chacune.
• Nommer le centre O, le rayon R et le diamètre 2R, et écrire la condition OM = R (sphère) ou OM ≤ R (boule).
• Reconnaître un grand cercle comme un cercle de la sphère dont le plan passe par le centre O, de rayon R.
• Repérer sur un globe terrestre que l'équateur est un grand cercle.

Vérifie que tu as compris

1. De centre O et de rayon R, quelle est la différence entre la sphère et la boule ?

   Réponse la sphère est la surface, la boule est le solide plein

   La SPHÈRE est la SURFACE : l'ensemble des points situés exactement à la distance R du centre O (la « peau », comme un ballon de baudruche). La BOULE est le SOLIDE PLEIN : l'ensemble des points à une distance inférieure ou égale à R de O (comme une bille pleine).

2. Qu'appelle-t-on un « grand cercle » d'une sphère de centre O et de rayon R ?

   Réponse un cercle de la sphère dont le plan passe par le centre O, de rayon R

   Un grand cercle est un cercle tracé sur la sphère dont le PLAN passe par le centre O. C'est le plus grand cercle possible sur la sphère : son rayon est R, le rayon de la sphère. Les cercles de la sphère dont le plan ne passe pas par O sont plus petits (rayon r < R).

3. Une sphère a pour centre O et pour rayon 5 cm ; un point M vérifie OM = 3 cm. Où se trouve M ?

   Réponse à l'intérieur de la boule, mais pas sur la sphère

   La SPHÈRE est l'ensemble des points tels que OM = R = 5 cm ; la BOULE est l'ensemble des points tels que OM ≤ 5 cm. Ici OM = 3 cm, donc OM < R : le point M appartient à la boule (il est dedans) mais pas à la sphère, car il n'est pas sur sa surface.