Quotient de puissances de même base
2⁵ ÷ 2², faut-il diviser ou soustraire les exposants ?
En une phrase
Quand tu divises deux puissances de même base, tu gardes la base et tu soustrais les exposants. Par exemple 2⁵ ÷ 2² = 2^(5−2) = 2³ = 8. Et si les exposants sont égaux, tu obtiens a⁰ = 1.
L'idée à retenir
Pour diviser deux puissances de même base, on garde la base et on soustrait les exposants : 2⁵ ÷ 2² = 2⁵⁻² = 2³ = 8. Cas particulier : 2ⁿ ÷ 2ⁿ = 2⁰ = 1.
Comprendre
Diviser deux puissances de MÊME base se fait en gardant la base et en SOUSTRAYANT les exposants : a^m ÷ a^n = a^(m−n). L'idée se voit en simplifiant les facteurs communs. Par exemple 2⁵ ÷ 2² = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) / (2 × 2).
Les deux facteurs 2 du bas se simplifient avec deux facteurs du haut ; il reste 2 × 2 × 2 = 2³. On a donc enlevé 2 facteurs à 5 : 5 − 2 = 3, et 2³ = 8. Comme pour le produit, la base ne change pas et on ne divise pas les exposants. Cette règle éclaire aussi un cas important : quand les exposants sont égaux, a^n ÷ a^n = a^(n−n) = a⁰.
Or a^n ÷ a^n vaut 1 (un nombre divisé par lui-même). On en déduit que a⁰ = 1 (pour a non nul). La soustraction des exposants est le pendant naturel de l'addition vue pour le produit : multiplier ajoute des facteurs, diviser en retire.
Le cours
Pour diviser deux puissances d'une même base (non nulle), on garde la base et on soustrait les exposants : a^m ÷ a^n = a^(m−n). Cette règle se comprend en simplifiant les facteurs communs. Ainsi 2⁵ ÷ 2² = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) / (2 × 2) : on simplifie deux facteurs 2 en haut et en bas, il reste 2 × 2 × 2 = 2³, car 5 − 2 = 3 ; et 2³ = 8. La base ne change pas et on ne divise pas les exposants entre eux.
Un cas particulier découle de cette règle : lorsque m = n, a^n ÷ a^n = a^(n−n) = a⁰. Comme un nombre non nul divisé par lui-même vaut 1, on pose a⁰ = 1. La soustraction des exposants pour le quotient est cohérente avec l'addition pour le produit : le produit met des facteurs bout à bout, le quotient en enlève. Cette propriété, valable uniquement pour une base commune, sera très utile pour simplifier des écritures et, en 3e, pour introduire les exposants négatifs.
Vois cette notion fonctionner : la scène animée, plan par plan →
Les erreurs fréquentes
- On divise les exposants : 2⁵ ÷ 2² = 2^(5÷2).
- Pour un quotient de même base, on SOUSTRAIT les exposants : 2⁵ ÷ 2² = 2^(5−2) = 2³.
- On oublie que a^n ÷ a^n vaut 1 et on écrit a^n ÷ a^n = 0.
- a^n ÷ a^n = a^(n−n) = a⁰ = 1 (un nombre non nul divisé par lui-même donne 1).
Tu maîtrises la notion si…
- Énoncer la règle a^m ÷ a^n = a^(m−n) pour une même base.
- Calculer 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8 en soustrayant les exposants.
- Reconnaître que a^n ÷ a^n = a⁰ = 1.
Vérifie que tu as compris
2⁵ ÷ 2² est égal à…
Réponse 2³
Même base : on soustrait les exposants, 5 − 2 = 3, donc 2⁵ ÷ 2² = 2³.
Que vaut 2⁵ ÷ 2² ?
Réponse 8
2⁵ ÷ 2² = 2³ (on soustrait les exposants), et 2³ = 8.
En appliquant la règle des exposants, 7³ ÷ 7³ s'écrit 7⁰. Que vaut ce nombre ?
Réponse 1
Un nombre non nul divisé par lui-même vaut 1, et la règle du quotient donne 7³ ÷ 7³ = 7³⁻³ = 7⁰. On en déduit que 7⁰ = 1, et surtout pas 0.
S'entraîner sur cette notion
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Ouvrir cette scène dans Azulma →Les quatre étapes pour maîtriser cette notion
Même base : on soustrait les exposants.
5 − 2, pas 5 ÷ 2.
2⁵ ÷ 2² : 5 − 2 = 3.
On simplifie les facteurs communs.
On soustrait : 5 − 2 = 3, donc 2³ (= 8).
Un quotient soustrait, un produit additionne.
3 − 3 = 0, donc 2⁰ = 1.
Un nombre divisé par lui-même vaut 1.