Produit de puissances de même base
2³ × 2⁴, est-ce 2⁷ ou 2¹² ?
En une phrase
Quand tu multiplies deux puissances qui ont la même base, tu gardes la base et tu additionnes les exposants. Par exemple 2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷ = 128. Tu n'ajoutes pas les bases et tu ne multiplies pas les exposants.
L'idée à retenir
Pour multiplier deux puissances de même base, on garde la base et on additionne les exposants : 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128. On n'ajoute pas les bases et on ne multiplie pas les exposants.
Comprendre
Multiplier deux puissances de MÊME base est très simple : on conserve la base et on ADDITIONNE les exposants. En notation : a^m × a^n = a^(m+n). Pourquoi ?
Parce qu'en dépliant, on met bout à bout les facteurs : 2³ × 2⁴ = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁷. On a 3 facteurs puis 4 facteurs, soit 3 + 4 = 7 facteurs au total. La valeur est 2⁷ = 128. Deux pièges à éviter.
D'abord, on n'ajoute pas les bases : 2³ × 2⁴ n'est pas 4 quelque chose, la base reste 2. Ensuite, on ne multiplie pas les exposants : ici c'est 3 + 4 = 7, et non 3 × 4 = 12. Cette règle ne fonctionne QUE si la base est la même : 2³ × 5² ne se simplifie pas ainsi. Retiens l'image des facteurs que l'on met bout à bout : additionner les exposants revient à compter tous les facteurs.
Le cours
Pour multiplier deux puissances d'une même base, on garde cette base et on additionne les exposants : a^m × a^n = a^(m+n). Cette règle se justifie en revenant à la définition : a^m × a^n, c'est m facteurs égaux à a suivis de n facteurs égaux à a, soit au total m + n facteurs égaux à a, c'est-à-dire a^(m+n). Exemple : 2³ × 2⁴ = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2⁷, car 3 + 4 = 7 ; et 2⁷ = 128. Il faut respecter deux points de vigilance.
On ne modifie pas la base (elle reste 2, on n'obtient pas une puissance de 4). On additionne les exposants, on ne les multiplie pas : 3 + 4 = 7 (et non 3 × 4 = 12). Enfin, la règle exige une base commune : un produit comme 2³ × 5² ne se réduit pas à une seule puissance.
Cette propriété est fondamentale ; elle s'étend à plus de deux facteurs (a^m × a^n × a^p = a^(m+n+p)) et prépare le quotient de puissances, où l'on soustraira les exposants.
Vois cette notion fonctionner : la scène animée, plan par plan →
Les erreurs fréquentes
- On multiplie les exposants : 2³ × 2⁴ = 2¹² (3 × 4).
- Pour un produit de même base, on ADDITIONNE les exposants : 2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷.
- On additionne aussi les bases : 2³ × 2⁴ = 4⁷.
- La base ne change pas : elle reste 2. 2³ × 2⁴ = 2⁷, pas 4⁷.
Tu maîtrises la notion si…
- Énoncer la règle a^m × a^n = a^(m+n) pour une même base.
- Calculer 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 en additionnant les exposants.
- Éviter les pièges : ne pas changer la base, ne pas multiplier les exposants.
Vérifie que tu as compris
2³ × 2⁴ est égal à…
Réponse 2⁷
Même base : on additionne les exposants, 3 + 4 = 7, donc 2³ × 2⁴ = 2⁷. On n'ajoute pas les bases et on ne multiplie pas les exposants.
Que vaut 2³ × 2⁴ ?
Réponse 128
2³ × 2⁴ = 2⁷ (on additionne les exposants), et 2⁷ = 128.
Dans un exercice, Lina doit écrire 5² × 5³ sous la forme d'une seule puissance. Que doit-elle écrire ?
Réponse 5⁵
Même base 5 : on garde la base et on additionne les exposants, 2 + 3 = 5, donc 5² × 5³ = 5⁵. Multiplier les exposants donnerait 5⁶ ; écrire 25⁵ ou 10⁵ changerait la base, qui ne bouge jamais.
S'entraîner sur cette notion
La scène s'anime pas à pas, la mascotte t'explique, puis tu t'entraînes. Gratuit pour commencer.
Ouvrir cette scène dans Azulma →Les quatre étapes pour maîtriser cette notion
Même base : on additionne les exposants.
3 + 4, pas 3 × 4.
2³ × 2⁴ : 3 + 4 = 7.
On met les facteurs bout à bout.
On additionne : 3 + 4 = 7, donc 2⁷ (= 128).
Déplie les facteurs pour vérifier.
5² × 5³ = 5⁵ ; 2³ × 5² : bases différentes, pas de règle.
La règle exige une base commune.