La notation puissance

En une phrase

Une puissance est une écriture courte pour un produit de facteurs identiques. Dans 2⁵, le nombre du bas (2) est la base, le petit nombre en haut (5) est l'exposant : il dit combien de fois on multiplie la base par elle-même. 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Attention : 2⁵ n'est PAS 2 × 5.

Comprendre

La notation puissance sert à écrire de façon courte un produit de facteurs tous identiques. Dans l'écriture aⁿ, a s'appelle la BASE et n l'EXPOSANT. L'exposant indique le NOMBRE DE FACTEURS égaux à la base.

Ainsi 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 : il y a cinq facteurs égaux à 2, et le calcul donne 32. De même 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000. Deux cas particuliers sont utiles : a¹ = a (un seul facteur) et, plus tard, a⁰ = 1 (pour a ≠ 0). Le piège le plus courant est de confondre la puissance avec une multiplication : 2⁵ n'est pas 2 × 5 = 10. L'exposant ne se multiplie pas à la base ; il compte les facteurs. On lit 2⁵ « 2 puissance 5 » (ou « 2 exposant 5 »), et pour a² et a³ on dit souvent « a au carré » et « a au cube ».

Cette notation, déjà vue en 5e pour le carré, le cube et les puissances de 10, se généralise ici à n'importe quel exposant entier naturel. Elle est essentielle pour écrire de grands nombres et pour tout le calcul qui suit.

Le cours

Une puissance est une notation qui abrège un produit de facteurs tous égaux. Pour un nombre a et un entier naturel n non nul, aⁿ désigne le produit de n facteurs égaux à a : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs). Le nombre a est la base, le nombre n est l'exposant, qui indique combien de fois la base est utilisée comme facteur.

Par exemple 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, et 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000. On a toujours a¹ = a (un seul facteur). Il ne faut pas confondre une puissance avec une multiplication de la base par l'exposant : 2⁵ vaut 32 et non 2 × 5 = 10. L'exposant compte les facteurs, il ne se multiplie pas à la base. On lit aⁿ « a puissance n » ; a² se lit « a au carré » et a³ « a au cube ».

Cette écriture, rencontrée en 5e pour les carrés, les cubes et les puissances de 10, est ici généralisée à tout exposant entier naturel. Elle prépare les règles de calcul (produit, quotient, puissance d'une puissance) et l'écriture des grands nombres.

Les erreurs fréquentes

On calcule 2⁵ comme 2 × 5 = 10.

L'exposant compte les facteurs : 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, ce n'est pas 2 × 5.

On confond la base et l'exposant, par exemple en calculant 5² au lieu de 2⁵.

La base est le nombre écrit en grand, l'exposant le petit nombre écrit en haut à droite (dans 2⁵, la base 2 est pourtant le plus PETIT des deux nombres : c'est la POSITION qui les distingue, pas la taille) : 2⁵ = 32, tandis que 5² = 25. L'ordre compte.

Tu maîtrises la notion si…

• Écrire une puissance comme un produit de facteurs égaux (2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2).
• Identifier la base et l'exposant, et calculer la valeur (2⁵ = 32, 10³ = 1000).
• Distinguer une puissance d'une multiplication (2⁵ ≠ 2 × 5).

Vérifie que tu as compris

1. Que vaut 2⁵ ?

   Réponse 32

   2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 (cinq facteurs égaux à 2). Ce n'est pas 2 × 5 = 10.

2. Par quelle expression 2⁵ est-il égal ?

   Réponse 2 × 2 × 2 × 2 × 2

   2⁵ est le produit de 5 facteurs égaux à 2 : 2 × 2 × 2 × 2 × 2. L'exposant 5 indique le nombre de facteurs, pas une multiplication par 5.

3. Sur sa copie, Nour a écrit le produit 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3. Comment l'écrire avec la notation puissance ?

   Réponse 3⁶

   Il y a six facteurs égaux à 3 : la base est 3 et l'exposant compte les facteurs, donc 3⁶ (qui vaut 729). Échanger la base et l'exposant donnerait 6³ = 216, un tout autre nombre.