Calculer une expression avec des puissances

En une phrase

Quand un calcul contient des puissances, tu les calcules AVANT tout le reste. Ensuite tu fais les × et ÷, puis les + et −. Par exemple 3 + 2³ × 2 : d'abord 2³ = 8, puis 8 × 2 = 16, enfin 3 + 16 = 19.

Comprendre

Les puissances viennent s'ajouter en haut de l'échelle des priorités opératoires. L'ordre complet est : d'abord les PUISSANCES, ensuite les MULTIPLICATIONS et DIVISIONS, enfin les ADDITIONS et SOUSTRACTIONS (les parenthèses passant toujours avant tout). Concrètement, on repère et on calcule d'abord chaque puissance, puis on poursuit comme d'habitude.

Exemple 1 : 3 + 2³ × 2. On calcule la puissance en premier : 2³ = 8. Il reste 3 + 8 × 2 ; la multiplication est prioritaire sur l'addition : 8 × 2 = 16 ; puis 3 + 16 = 19. Le résultat est 19. Une erreur classique serait de faire 3 + 2 = 5 ou 2³ × 2 dans le mauvais ordre : il faut respecter l'échelle. Exemple 2 : 5² − 4 × 3. La puissance d'abord : 5² = 25 ; puis la multiplication : 4 × 3 = 12 ; enfin 25 − 12 = 13. Retiens l'échelle des priorités : parenthèses, puis puissances, puis × et ÷, puis + et −. Bien la respecter garantit le bon résultat, surtout quand plusieurs opérations se mélangent.

Le cours

Le calcul d'une expression numérique suit un ordre de priorités que les puissances viennent compléter. L'ordre est le suivant : on effectue d'abord ce qui est entre parenthèses, puis les puissances, ensuite les multiplications et les divisions (de gauche à droite), et enfin les additions et les soustractions (de gauche à droite). Autrement dit, une puissance se calcule avant une multiplication, et a fortiori avant une addition.

Exemple : 3 + 2³ × 2. On calcule d'abord la puissance : 2³ = 8. L'expression devient 3 + 8 × 2. La multiplication est prioritaire : 8 × 2 = 16. Puis 3 + 16 = 19. Autre exemple : 5² − 4 × 3 = 25 − 12 = 13, en calculant d'abord 5² = 25 et 4 × 3 = 12. Écrire 3 + 2³ × 2 = 5³ × 2 (en faisant 3 + 2 d'abord) ou 3 + 2³ × 2 = 3 + 2⁴ (en confondant les règles) serait une erreur de priorité. Il faut appliquer l'échelle : parenthèses, puissances, × et ÷, + et −. Cette organisation des calculs, avec les puissances en haut de l'échelle, est essentielle pour les expressions numériques comme pour le calcul littéral à venir.

Les erreurs fréquentes

On calcule de gauche à droite sans priorité : 3 + 2³ × 2 = 5³ × 2 (en faisant 3 + 2 d'abord).

La puissance d'abord : 2³ = 8, puis 8 × 2 = 16, puis 3 + 16 = 19. Le résultat est 19.

On lit 5² comme 5 × 2 : 5² − 4 × 3 devient 10 − 12 = −2.

On calcule 5² = 25 et 4 × 3 = 12, puis 25 − 12 = 13.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que les puissances se calculent avant les × ÷ et les + −.
• Calculer 3 + 2³ × 2 = 19 en effectuant la puissance d'abord.
• Calculer 5² − 4 × 3 = 13 en respectant l'échelle des priorités.

Vérifie que tu as compris

1. Que vaut 3 + 2³ × 2 ?

   Réponse 19

   La puissance d'abord : 2³ = 8 ; puis la multiplication : 8 × 2 = 16 ; enfin 3 + 16 = 19. Calculer de gauche à droite donnerait (3 + 2)³ × 2 = 125 × 2 = 250 ; faire l'addition avant la multiplication donnerait (3 + 2³) × 2 = 11 × 2 = 22 ; et lire 2³ comme 2 × 3 donnerait 3 + 6 × 2 = 15.

2. Que vaut 5² − 4 × 3 ?

   Réponse 13

   La puissance d'abord : 5² = 25 ; puis la multiplication : 4 × 3 = 12 ; enfin 25 − 12 = 13. Calculer de gauche à droite donnerait (5² − 4) × 3 = 21 × 3 = 63 ; lire 5² comme 5 × 2 donnerait 10 − 12 = −2 ; et soustraire avant d'élever donnerait (5 − 4)² × 3 = 3.

3. Un jeu contient 4 paquets de 3² cartes, plus 6 cartes bonus. Quel calcul donne le total, et combien de cartes trouve-t-on ?

   Réponse 4 × 3² + 6 = 4 × 9 + 6 = 42 cartes

   La puissance d'abord : 3² = 9 ; puis la multiplication : 4 × 9 = 36 ; enfin l'addition : 36 + 6 = 42 cartes. Multiplier avant d'élever au carré donnerait 12² + 6 = 150, et tout mettre entre parenthèses 18² = 324.