Le triangle rectangle : hypoténuse, opposé, adjacent

L'essentiel

La trigonométrie relie les ANGLES et les LONGUEURS d'un triangle rectangle. Avant de calculer quoi que ce soit, il faut savoir NOMMER les trois côtés par rapport à un angle aigu, qu'on appelle θ (thêta). Premier côté, le plus facile : l'HYPOTÉNUSE.

C'est le côté opposé à l'angle droit, et c'est toujours le plus long. Elle ne change jamais, quel que soit l'angle aigu qu'on regarde. Les deux autres côtés portent un nom qui DÉPEND de l'angle θ choisi.

Le côté OPPOSÉ à θ est celui qui est « en face » de θ : il ne touche pas l'angle. Le côté ADJACENT à θ est celui qui touche θ, mais qui n'est pas l'hypoténuse (adjacent veut dire « à côté »). Attention : si on change d'angle aigu (on regarde l'autre coin du triangle), l'opposé et l'adjacent s'échangent — seule l'hypoténuse reste la même.

Un exemple à garder en tête toute l'année : le triangle rectangle 3-4-5 (les côtés mesurent 3, 4 et 5). Pour l'angle θ situé en face du côté 3 : opposé = 3, adjacent = 4, hypoténuse = 5. Pour retenir à quoi servent ces trois côtés, on utilise le mot magique SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé / Hypoténuse, Cosinus = Adjacent / Hypoténuse, Tangente = Opposé / Adjacent. Bien nommer les côtés, c'est la moitié du travail : tout le reste du chapitre en découle.

Comprendre

Ce concept ouvre la trigonométrie : il apprend à repérer les trois côtés d'un triangle rectangle RELATIVEMENT à un angle aigu θ. Trois définitions. HYPOTÉNUSE : côté opposé à l'angle droit, le plus long, indépendante de l'angle aigu choisi.

Côté OPPOSÉ à θ : le côté qui fait face à θ (ne le touche pas). Côté ADJACENT à θ : le côté qui touche θ sans être l'hypoténuse. Idée centrale : opposé et adjacent sont RELATIFS à l'angle — ils s'échangent si l'on considère l'autre angle aigu, tandis que l'hypoténuse est fixe.

Le triangle repère du chapitre est le 3-4-5 (rectangle car 3² + 4² = 5²) : pour l'angle en face du côté 3, opposé = 3, adjacent = 4, hypoténuse = 5. Le mémo SOH-CAH-TOA organise tout : Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent. Erreurs classiques : appeler « hypoténuse » un côté de l'angle droit (l'hypoténuse est le plus long, face à l'angle droit) ; ou fixer opposé/adjacent sans regarder l'angle (ils dépendent de θ). Ce concept est la fondation : les trois suivants (cosinus, sinus, tangente) ne sont que des rapports de deux de ces côtés, et le dernier (calculer) les utilise pour trouver une longueur ou un angle.

Le cours

NOMMER LES CÔTÉS D'UN TRIANGLE RECTANGLE. Le décor. On travaille dans un triangle RECTANGLE (il possède un angle droit) et on s'intéresse à l'un de ses angles AIGUS, noté θ (thêta).

Par rapport à cet angle, chaque côté reçoit un nom. L'hypoténuse. C'est le côté OPPOSÉ À L'ANGLE DROIT.

Deux propriétés à retenir : c'est le plus LONG des trois côtés, et son nom ne dépend PAS de l'angle aigu regardé (elle est toujours la même). Le côté opposé à θ. C'est le côté situé EN FACE de l'angle θ : il ne touche pas θ.

Le côté adjacent à θ. C'est le côté qui TOUCHE θ mais qui n'est PAS l'hypoténuse (« adjacent » = à côté de). Point capital : opposé et adjacent sont RELATIFS à l'angle.

Si l'on choisit l'autre angle aigu du triangle, l'ancien opposé devient l'adjacent et inversement ; seule l'hypoténuse ne bouge pas. Le triangle de référence 3-4-5. Un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 est rectangle (car 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²). Pour l'angle aigu θ placé en face du côté 3 : opposé = 3, adjacent = 4, hypoténuse = 5. On s'en servira comme exemple fil rouge dans tout le chapitre.

Le mémo SOH-CAH-TOA. Il résume les trois rapports de la trigonométrie : SOH → Sinus = Opposé / Hypoténuse ; CAH → Cosinus = Adjacent / Hypoténuse ; TOA → Tangente = Opposé / Adjacent. Méthode pour ne pas se tromper : (1) repérer l'angle droit → en face, l'hypoténuse ; (2) se placer sur l'angle θ ; (3) le côté en face de θ = opposé, le côté qui touche θ (≠ hypoténuse) = adjacent.

Points de vigilance. (1) Ne pas confondre l'hypoténuse (face à l'angle droit, la plus longue) avec un côté de l'angle droit. (2) Toujours regarder l'angle θ avant de dire « opposé » ou « adjacent » : ces noms changent avec l'angle. À retenir : hypoténuse = face à l'angle droit (fixe) ; opposé = face à θ ; adjacent = à côté de θ (≠ hypoténuse) ; mémo SOH-CAH-TOA.

Les erreurs fréquentes

On appelle « hypoténuse » un côté de l'angle droit.

L'hypoténuse est le côté OPPOSÉ à l'angle droit (jamais un côté de l'angle droit) : c'est aussi le plus long des trois côtés. On repère d'abord l'angle droit, l'hypoténuse est en face.

On fixe l'opposé et l'adjacent une fois pour toutes, sans regarder l'angle θ.

Opposé et adjacent DÉPENDENT de l'angle aigu choisi : le côté opposé est en face de θ, l'adjacent touche θ. Si l'on considère l'autre angle aigu, les deux s'échangent. Seule l'hypoténuse reste la même.

On confond « adjacent » et « opposé » : on prend pour adjacent le côté en face de θ.

Le côté ADJACENT touche l'angle θ (il est « à côté »), sans être l'hypoténuse. Le côté OPPOSÉ, lui, est en face de θ et ne le touche pas.

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer l'hypoténuse d'un triangle rectangle comme le côté opposé à l'angle droit (le plus long), indépendamment de l'angle aigu.
• Nommer, pour un angle aigu θ donné, le côté opposé (en face de θ) et le côté adjacent (le côté de θ qui n'est pas l'hypoténuse).
• Énoncer le mémo SOH-CAH-TOA et comprendre que opposé et adjacent dépendent de l'angle choisi (ils s'échangent d'un angle aigu à l'autre).

Vérifie que tu as compris

1. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu θ, quel côté est l'HYPOTÉNUSE ?

   Réponse le côté opposé à l'angle droit

   L'hypoténuse est TOUJOURS le côté opposé à l'angle droit ; c'est aussi le plus long des trois côtés. Elle ne dépend pas de l'angle aigu choisi. Le côté opposé et le côté adjacent, eux, dépendent de l'angle θ.

2. Pour un angle aigu θ d'un triangle rectangle, le côté ADJACENT à θ est :

   Réponse le côté de θ qui n'est pas l'hypoténuse

   Deux côtés touchent l'angle θ : l'hypoténuse et un autre. Le côté ADJACENT est celui qui touche θ SANS être l'hypoténuse. Le côté « en face de θ » est le côté opposé, pas l'adjacent. Mémo : CAH → Cosinus = Adjacent / Hypoténuse.

3. Combien de côtés du triangle rectangle bordent un angle aigu donné ?

   Réponse 2

   Deux côtés partent du sommet de l'angle aigu : l'hypoténuse et un côté de l'angle droit. C'est ce second côté que l'on appelle « adjacent », précisément parce qu'il touche l'angle sans être l'hypoténuse. Le troisième côté, en face, est le côté opposé.