Le cosinus : cos θ = adjacent / hypoténuse

L'essentiel

Le COSINUS est le premier des trois rapports trigonométriques. Il relie un angle aigu θ à deux côtés du triangle rectangle : le côté ADJACENT à θ et l'HYPOTÉNUSE. La définition tient dans le mémo CAH : cos θ = côté Adjacent / Hypoténuse.

Autrement dit, on divise la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse. Comme le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse (l'hypoténuse est le plus long côté), ce rapport est un nombre compris entre 0 et 1 : un cosinus vaut donc toujours entre 0 et 1, jamais plus. Exemple avec le triangle 3-4-5 : pour l'angle θ, l'adjacent vaut 4 et l'hypoténuse vaut 5, donc cos θ = 4/5 = 0,8. La valeur du cosinus ne dépend que de l'ANGLE, pas de la taille du triangle : si on agrandit le triangle deux fois (côtés 6, 8, 10), on trouve encore cos θ = 8/10 = 0,8. Le cosinus est donc une « carte d'identité » de l'angle.

À l'inverse, si on connaît le cosinus, la calculatrice permet de retrouver l'angle (touche cos⁻¹), ce qu'on verra plus loin. Le réflexe à prendre : dès qu'un problème parle du côté adjacent et de l'hypoténuse, on pense COSINUS.

Comprendre

Le cosinus est le premier rapport SOH-CAH-TOA. Définition (CAH) : cos θ = adjacent / hypoténuse. C'est le quotient de deux longueurs, donc un nombre sans unité, qui ne dépend que de l'angle θ (pas de la taille du triangle) : agrandir le triangle laisse le cosinus inchangé.

Comme l'adjacent est plus court que l'hypoténuse, 0 < cos θ < 1 : un cosinus est TOUJOURS compris entre 0 et 1 (une valeur > 1 signale une erreur, souvent une fraction inversée). Exemple de référence (triangle 3-4-5) : adjacent = 4, hypoténuse = 5 → cos θ = 4/5 = 0,8. Deux réflexes. (1) Identifier les bons côtés : le cosinus utilise l'adjacent (côté de θ, ≠ hypoténuse) et l'hypoténuse (face à l'angle droit) — jamais l'opposé. (2) Toujours mettre l'hypoténuse au DÉNOMINATEUR : cos θ = adjacent/hypoténuse, pas hypoténuse/adjacent. Erreurs fréquentes : confondre avec le sinus (opposé/hypoténuse) ; inverser le rapport (5/4 = 1,25, impossible pour un cosinus).

Ce concept prolonge la nomination des côtés (TRI_3E_001) et précède le sinus (TRI_3E_003) et la tangente ; ensemble ils permettront de calculer longueurs et angles (TRI_3E_005).

Le cours

LE COSINUS D'UN ANGLE AIGU. Définition. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu θ, le COSINUS est le rapport : cos θ = côté adjacent à θ / hypoténuse.

C'est le C-A-H de SOH-CAH-TOA (Cosinus = Adjacent / Hypoténuse). Nature du nombre. Le cosinus est un QUOTIENT de deux longueurs : il n'a pas d'unité.

Sa valeur ne dépend que de l'ANGLE, pas de la taille du triangle : deux triangles rectangles de même angle θ (l'un agrandissement de l'autre) ont le même cosinus. Encadrement. Le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse (qui est le plus long côté), donc le rapport est inférieur à 1 ; il est aussi positif.

Conclusion : 0 < cos θ < 1. Un cosinus est TOUJOURS compris entre 0 et 1. Exemple. Triangle 3-4-5, angle θ en face du côté 3 : adjacent = 4, hypoténuse = 5. Donc cos θ = 4/5 = 0,8. Vérification d'invariance. Si l'on double le triangle (côtés 6, 8, 10) : cos θ = 8/10 = 0,8, identique.

Méthode d'application. (1) Repérer l'angle θ et l'angle droit. (2) Identifier le côté adjacent (celui qui touche θ, ≠ hypoténuse) et l'hypoténuse (face à l'angle droit). (3) Écrire cos θ = adjacent / hypoténuse, puis calculer. Lien avec la calculatrice. La touche cos donne le cosinus d'un angle connu (cos(60°) = 0,5) ; la touche cos⁻¹ (ou arccos) fait l'inverse : elle retrouve l'angle à partir du cosinus (on l'utilisera pour calculer un angle).

Points de vigilance. (1) Ne pas confondre avec le sinus : le cosinus utilise l'ADJACENT, pas l'opposé. (2) Mettre l'hypoténuse au dénominateur (adjacent/hypoténuse, jamais l'inverse). (3) Un résultat > 1 est impossible : c'est le signe d'une fraction inversée. À retenir : cos θ = adjacent / hypoténuse (CAH), toujours entre 0 et 1 ; ex. 4/5 = 0,8.

Les erreurs fréquentes

On confond cosinus et sinus : on écrit cos θ = opposé / hypoténuse.

Le COSINUS utilise l'ADJACENT : cos θ = adjacent / hypoténuse (CAH). C'est le sinus qui utilise l'opposé (SOH). On repère bien le côté adjacent (celui qui touche θ, ≠ hypoténuse).

On inverse le rapport : on écrit cos θ = hypoténuse / adjacent, par exemple 5/4 = 1,25.

L'hypoténuse va toujours au DÉNOMINATEUR : cos θ = adjacent / hypoténuse = 4/5 = 0,8. Un cosinus est compris entre 0 et 1 ; une valeur comme 1,25 (> 1) est impossible et signale une fraction inversée.

On croit que le cosinus change si le triangle est plus grand.

Le cosinus ne dépend que de l'ANGLE, pas de la taille : pour un triangle 6-8-10 (double du 3-4-5), cos θ = 8/10 = 0,8, la même valeur qu'avec 4/5. C'est un rapport, il est invariant par agrandissement.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la définition du cosinus (CAH) : cos θ = adjacent / hypoténuse, avec l'hypoténuse au dénominateur.
• Calculer un cosinus à partir des longueurs (adjacent = 4, hypoténuse = 5 donne cos θ = 4/5 = 0,8).
• Justifier qu'un cosinus est toujours compris entre 0 et 1 (l'adjacent est plus court que l'hypoténuse) et le distinguer du sinus.

Vérifie que tu as compris

1. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu θ, à quoi est égal cos θ ?

   Réponse adjacent / hypoténuse

   Le cosinus, c'est CAH : cos θ = côté Adjacent / Hypoténuse. « opposé / hypoténuse » est le sinus (SOH), « opposé / adjacent » est la tangente (TOA). Comme l'adjacent est plus court que l'hypoténuse, cos θ est toujours compris entre 0 et 1.

2. Triangle rectangle : le côté adjacent à θ mesure 4 et l'hypoténuse mesure 5. Combien vaut cos θ ?

   Réponse cos θ = 0,8

   cos θ = adjacent / hypoténuse = 4/5 = 0,8. La réponse 0,6 serait le sinus (3/5), 0,75 la tangente (3/4). La valeur 1,25 = 5/4 inverse la fraction : le cosinus, plus petit que 1, ne peut pas valoir 1,25.

3. ABC est rectangle en A. Quelle égalité donne le cosinus de l'angle en B ?

   Réponse cos B = AB/BC

   L'angle droit étant en A, l'hypoténuse est [BC]. Vu de B, le côté adjacent (celui qui touche B sans être l'hypoténuse) est [AB]. CAH donne donc cos B = AB/BC. L'écriture AC/BC est le sinus de B, et BC/AB inverse le quotient (le cosinus ne peut pas dépasser 1).