Le sinus : sin θ = opposé / hypoténuse

L'essentiel

Le SINUS est le deuxième rapport trigonométrique. Il relie l'angle aigu θ au côté OPPOSÉ à θ et à l'HYPOTÉNUSE. Le mémo est SOH : sin θ = côté Opposé / Hypoténuse.

On divise donc la longueur du côté opposé (celui qui est en face de θ) par la longueur de l'hypoténuse (le plus long côté). Attention à ne pas le confondre avec le cosinus : le cosinus prend l'ADJACENT, le sinus prend l'OPPOSÉ ; les deux partagent l'hypoténuse au dénominateur. Comme le côté opposé est plus court que l'hypoténuse, le sinus est lui aussi compris entre 0 et 1. Exemple avec le triangle 3-4-5 : pour l'angle θ, l'opposé vaut 3 et l'hypoténuse vaut 5, donc sin θ = 3/5 = 0,6. Comme le cosinus, la valeur du sinus ne dépend que de l'ANGLE, pas de la taille du triangle.

Une valeur à retenir par cœur : sin(30°) = 0,5 (un demi). Elle sert souvent dans les calculs et permet de vérifier ses résultats. Le réflexe à prendre : dès qu'un problème parle du côté opposé et de l'hypoténuse, on pense SINUS.

Comprendre

Le sinus est le deuxième rapport SOH-CAH-TOA. Définition (SOH) : sin θ = opposé / hypoténuse. C'est un quotient de longueurs, sans unité, qui ne dépend que de l'angle (invariant par agrandissement du triangle).

Comme l'opposé est plus court que l'hypoténuse, 0 < sin θ < 1. Exemple de référence (triangle 3-4-5) : opposé = 3, hypoténuse = 5 → sin θ = 3/5 = 0,6. Valeur remarquable à mémoriser : sin(30°) = 0,5. Le point crucial est la DISTINCTION avec le cosinus : les deux ont l'hypoténuse au dénominateur, mais le sinus prend l'OPPOSÉ au numérateur, le cosinus l'ADJACENT. Un même triangle donne ici sin θ = 3/5 = 0,6 et cos θ = 4/5 = 0,8 : ce sont deux nombres différents. Deux réflexes. (1) Choisir le sinus quand les données sont l'opposé et l'hypoténuse. (2) Garder l'hypoténuse au dénominateur (opposé/hypoténuse, pas l'inverse).

Erreurs fréquentes : prendre l'adjacent au lieu de l'opposé (on calcule alors le cosinus) ; inverser le rapport. Ce concept suit le cosinus (TRI_3E_002) et précède la tangente (TRI_3E_004) ; les trois rapports serviront ensuite à calculer une longueur ou un angle (TRI_3E_005).

Le cours

LE SINUS D'UN ANGLE AIGU. Définition. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu θ, le SINUS est le rapport : sin θ = côté opposé à θ / hypoténuse.

C'est le S-O-H de SOH-CAH-TOA (Sinus = Opposé / Hypoténuse). Nature du nombre. Comme le cosinus, le sinus est un QUOTIENT de deux longueurs, sans unité, dont la valeur ne dépend que de l'ANGLE (pas de la taille du triangle).

Encadrement. Le côté opposé est plus court que l'hypoténuse (le plus long côté), donc 0 < sin θ < 1 : un sinus est toujours compris entre 0 et 1. Exemple. Triangle 3-4-5, angle θ en face du côté 3 : opposé = 3, hypoténuse = 5. Donc sin θ = 3/5 = 0,6. Distinction avec le cosinus.

Les deux rapports ont l'hypoténuse au dénominateur, mais : sinus = OPPOSÉ / hypoténuse ; cosinus = ADJACENT / hypoténuse. Sur le triangle 3-4-5, sin θ = 3/5 = 0,6 et cos θ = 4/5 = 0,8 : deux valeurs distinctes pour le même angle. Valeur remarquable. sin(30°) = 0,5 : à connaître par cœur.

Elle intervient souvent (ex. calcul d'une hauteur) et sert de repère pour vérifier un résultat. Méthode d'application. (1) Repérer l'angle θ et l'angle droit. (2) Identifier le côté opposé (en face de θ) et l'hypoténuse. (3) Écrire sin θ = opposé / hypoténuse, puis calculer. Lien avec la calculatrice.

La touche sin donne le sinus d'un angle connu (sin(30°) = 0,5) ; la touche sin⁻¹ (arcsin) retrouve l'angle à partir du sinus. Points de vigilance. (1) Ne pas prendre l'adjacent : ce serait le cosinus. (2) Hypoténuse au dénominateur. (3) Un sinus > 1 est impossible. À retenir : sin θ = opposé / hypoténuse (SOH), entre 0 et 1 ; ex. 3/5 = 0,6 ; sin(30°) = 0,5.

Les erreurs fréquentes

On confond sinus et cosinus : on écrit sin θ = adjacent / hypoténuse.

Le SINUS utilise l'OPPOSÉ : sin θ = opposé / hypoténuse (SOH). C'est le cosinus qui utilise l'adjacent (CAH). Sur le 3-4-5 : sin θ = 3/5 = 0,6, alors que cos θ = 4/5 = 0,8.

On inverse le rapport : on écrit sin θ = hypoténuse / opposé (par exemple 5/3 ≈ 1,67).

L'hypoténuse va au DÉNOMINATEUR : sin θ = opposé / hypoténuse = 3/5 = 0,6. Une valeur supérieure à 1 (comme 1,67) est impossible pour un sinus, car l'opposé est plus court que l'hypoténuse.

On oublie la valeur sin(30°) = 0,5 ou on la confond avec cos(30°).

sin(30°) = 0,5 est à connaître par cœur (c'est le sinus, pas le cosinus). Elle sert souvent, par exemple pour calculer une longueur : côté opposé = hypoténuse × sin(30°) = hypoténuse × 0,5.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la définition du sinus (SOH) : sin θ = opposé / hypoténuse, hypoténuse au dénominateur.
• Calculer un sinus à partir des longueurs (opposé = 3, hypoténuse = 5 donne sin θ = 3/5 = 0,6) et distinguer sinus et cosinus.
• Connaître la valeur remarquable sin(30°) = 0,5 et savoir qu'un sinus est compris entre 0 et 1.

Vérifie que tu as compris

1. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu θ, à quoi est égal sin θ ?

   Réponse opposé / hypoténuse

   Le sinus, c'est SOH : sin θ = côté Opposé / Hypoténuse. « adjacent / hypoténuse » est le cosinus (CAH), « opposé / adjacent » est la tangente (TOA). Le côté opposé est celui qui est en face de l'angle θ.

2. Triangle rectangle : le côté opposé à θ mesure 3 et l'hypoténuse mesure 5. Combien vaut sin θ ?

   Réponse sin θ = 0,6

   sin θ = opposé / hypoténuse = 3/5 = 0,6. La réponse 0,8 serait le cosinus (4/5), 0,75 la tangente (3/4). La valeur 1,67 ≈ 5/3 inverse la fraction : comme l'opposé est plus court que l'hypoténuse, sin θ reste entre 0 et 1.

3. Dans le triangle MNP rectangle en N, comment s'écrit le sinus de l'angle en P ?

   Réponse MN/MP

   L'angle droit est en N, donc l'hypoténuse est [MP]. Vu de P, le côté opposé est [MN] (il ne touche pas P). SOH donne sin P = MN/MP. Le quotient NP/MP est le cosinus de P, MN/NP sa tangente, et MP/MN inverse le sinus.