Calculer une longueur ou un angle

L'essentiel

Une fois qu'on connaît le cosinus, le sinus et la tangente, on peut tout CALCULER dans un triangle rectangle. Deux grandes situations reviennent au brevet. SITUATION 1 — calculer une LONGUEUR.

On connaît un côté et l'angle θ, on cherche un autre côté. La méthode : repérer les deux côtés en jeu (le connu et le cherché), en déduire la relation SOH-CAH-TOA qui les contient, puis isoler la longueur. Exemple : l'hypoténuse vaut 10 et θ = 30°, on cherche le côté opposé.

La relation qui contient « opposé » et « hypoténuse » est le sinus : sin θ = opposé / hypoténuse. Donc opposé = hypoténuse × sin θ = 10 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5. SITUATION 2 — calculer un ANGLE. On connaît DEUX côtés et on cherche l'angle θ.

La méthode : former le rapport trigonométrique avec ces deux côtés, puis utiliser la touche « inverse » de la calculatrice (cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹) pour remonter à l'angle. Exemple : on connaît l'adjacent (4) et l'hypoténuse (5). Le rapport adjacent/hypoténuse est le cosinus : cos θ = 4/5 = 0,8. On tape ensuite cos⁻¹(0,8) sur la calculatrice : θ ≈ 36,9°.

Le plus important : bien CHOISIR la relation. On part toujours des côtés connus (ou cherchés) : deux côtés parmi opposé, adjacent, hypoténuse désignent une seule relation (SOH, CAH ou TOA).

Comprendre

Ce concept met en action les trois rapports pour calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle. Deux cas types. LONGUEUR (un côté + l'angle connus) : on choisit la relation contenant le côté connu et le côté cherché, puis on isole.

Ex. hypoténuse = 10, θ = 30°, on cherche l'opposé → sinus : opposé = hypoténuse × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5. ANGLE (deux côtés connus) : on forme le rapport correspondant, puis on applique la fonction inverse. Ex. adjacent = 4, hypoténuse = 5 → cos θ = 4/5 = 0,8, puis θ = arccos(0,8) ≈ 36,9° (touche cos⁻¹). Le geste décisif est le CHOIX de la relation : on identifie les deux côtés en jeu (parmi opposé, adjacent, hypoténuse) et le couple désigne une seule relation SOH-CAH-TOA.

Opposé + hypoténuse → sinus ; adjacent + hypoténuse → cosinus ; opposé + adjacent → tangente. Réflexes : pour une longueur, multiplier par sin/cos/tan de l'angle ; pour un angle, utiliser sin⁻¹/cos⁻¹/tan⁻¹. Erreurs fréquentes : choisir la mauvaise relation (prendre le cosinus quand on a l'opposé) ; oublier la touche « inverse » et croire que 0,8 est l'angle (0,8 est le cosinus, l'angle est arccos(0,8) ≈ 36,9°).

Ce concept réunit les trois précédents (cosinus, sinus, tangente) : c'est l'aboutissement du chapitre, directement évalué au brevet.

Le cours

CALCULER UNE LONGUEUR OU UN ANGLE. On dispose des trois relations SOH-CAH-TOA : sin θ = opposé/hypoténuse, cos θ = adjacent/hypoténuse, tan θ = opposé/adjacent. Elles servent à deux types de calculs.

A. CALCULER UNE LONGUEUR (on connaît un côté et l'angle). Méthode : (1) repérer les deux côtés en jeu — celui qu'on connaît et celui qu'on cherche ; (2) choisir la relation SOH-CAH-TOA qui contient ces deux côtés ; (3) l'écrire, remplacer par les valeurs, puis isoler l'inconnue. Exemple.

L'hypoténuse vaut 10, l'angle θ = 30°, on cherche le côté opposé. La relation « opposé + hypoténuse » est le sinus : sin θ = opposé / hypoténuse, soit sin(30°) = opposé / 10. On isole : opposé = 10 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5. B. CALCULER UN ANGLE (on connaît deux côtés). Méthode : (1) repérer les deux côtés connus ; (2) former le rapport SOH-CAH-TOA correspondant ; (3) appliquer la fonction inverse de la calculatrice pour retrouver l'angle.

Exemple. On connaît le côté adjacent (4) et l'hypoténuse (5). Le rapport « adjacent / hypoténuse » est le cosinus : cos θ = 4/5 = 0,8. Pour remonter à l'angle, on tape cos⁻¹(0,8) (touche arccos) : θ ≈ 36,9°.

Choisir la bonne relation. C'est l'étape clé. On regarde quels côtés sont en jeu (parmi opposé, adjacent, hypoténuse) : opposé + hypoténuse → SINUS ; adjacent + hypoténuse → COSINUS ; opposé + adjacent → TANGENTE.

Le couple de côtés désigne toujours une seule relation. Les touches inverses. Sur la calculatrice, cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹ (parfois notées Acos, Asin, Atan) font l'opération inverse : elles donnent l'angle à partir du rapport.

Points de vigilance. (1) Ne pas se tromper de relation : partir des côtés connus, pas au hasard. (2) Pour un angle, ne pas oublier la touche inverse : 0,8 n'est pas l'angle, l'angle est arccos(0,8) ≈ 36,9°. (3) Pour une longueur, multiplier par le sinus/cosinus/tangente de l'angle (ex. 10 × sin(30°)). À retenir : longueur → côté = côté connu × (sin/cos/tan)(θ) ; angle → θ = (sin⁻¹/cos⁻¹/tan⁻¹)(rapport).

Les erreurs fréquentes

On choisit la mauvaise relation (ex. on prend le cosinus alors qu'on connaît l'opposé et l'hypoténuse).

On choisit la relation selon les deux côtés en jeu : opposé + hypoténuse → sinus ; adjacent + hypoténuse → cosinus ; opposé + adjacent → tangente. Ici (opposé + hypoténuse), c'est le SINUS qu'il faut.

Pour trouver l'angle, on oublie la touche inverse et on écrit « θ = 0,8 ».

0,8 est la valeur du COSINUS, pas l'angle. Pour obtenir l'angle, on applique cos⁻¹ (arccos) : θ = arccos(0,8) ≈ 36,9°. De même sin⁻¹ pour un sinus, tan⁻¹ pour une tangente.

Pour trouver une longueur, on divise au lieu de multiplier (ex. opposé = 10 ÷ sin(30°)).

De sin θ = opposé / hypoténuse, on isole opposé = hypoténuse × sin θ = 10 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5. Le côté opposé s'obtient en MULTIPLIANT l'hypoténuse par le sinus de l'angle.

Tu maîtrises la notion si…

• Choisir la relation SOH-CAH-TOA adaptée à partir des deux côtés en jeu (opposé+hyp → sinus, adjacent+hyp → cosinus, opposé+adjacent → tangente).
• Calculer une longueur manquante (hypoténuse = 10, θ = 30° donne côté opposé = 10 × sin(30°) = 5).
• Calculer une mesure d'angle à partir de deux côtés en utilisant la touche inverse (cos θ = 0,8 donne θ = arccos(0,8) ≈ 36,9°).

Vérifie que tu as compris

1. Triangle rectangle : l'hypoténuse mesure 10 et l'angle θ = 30°. Combien vaut le côté OPPOSÉ à θ ?

   Réponse 5

   On relie l'opposé, l'hypoténuse et θ par le sinus : sin θ = opposé / hypoténuse, donc opposé = hypoténuse × sin θ = 10 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5. On choisit le sinus car on a l'hypoténuse et on cherche l'opposé (SOH).

2. Triangle rectangle : on connaît le côté adjacent (4) et l'hypoténuse (5). Comment trouver la mesure de l'angle θ ?

   Réponse θ = arccos(0,8) ≈ 36,9°

   On a l'adjacent et l'hypoténuse : on utilise le cosinus, cos θ = 4/5 = 0,8. Pour remonter à l'angle, on applique la touche cos⁻¹ (arccos) : θ = arccos(0,8) ≈ 36,9°. arcsin(0,8) ≈ 53,1° utiliserait le sinus (mauvaise relation) ; 0,8 est le cosinus, pas l'angle.

3. Une piste de ski descend sur 500 m de long avec une pente inclinée de 25°. Quel dénivelé a-t-on descendu (sin 25° ≈ 0,42) ?

   Réponse 210 m

   La longueur de piste est l'hypoténuse et le dénivelé le côté opposé à l'angle de 25° : dénivelé = 500 × sin 25° ≈ 500 × 0,42 = 210 m. La valeur 453 m utiliserait le cosinus (c'est le déplacement horizontal) et 250 m serait la moitié, sans lien avec l'angle.