Le théorème de Pythagore : l'énoncé

L'essentiel

Le théorème de Pythagore ne s'applique QUE dans un triangle rectangle. L'hypoténuse est le côté le plus long : c'est celui qui est en face de l'angle droit. Le théorème dit une chose précise : si tu construis un carré sur chaque côté, le carré posé sur l'hypoténuse a exactement la même aire que les deux autres carrés réunis.

Avec des lettres, pour un triangle ABC rectangle en A (l'angle droit est au sommet A) : BC² = AB² + AC². [BC] est l'hypoténuse (en face de A), [AB] et [AC] sont les deux côtés de l'angle droit. Exemple à retenir : un triangle de côtés 3, 4 et 5 est rectangle, car 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

Comprendre

Le théorème de Pythagore relie les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle. Première étape indispensable : repérer l'angle droit et l'hypoténuse. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est toujours le plus long des trois côtés.

Les deux autres côtés, ceux qui forment l'angle droit, sont appelés « côtés de l'angle droit ». Le théorème affirme alors que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit. Écrit avec des lettres, dans un triangle ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC².

L'ordre des lettres a un sens : puisque l'angle droit est en A, l'hypoténuse est le côté qui ne contient pas A, c'est-à-dire [BC] ; les deux côtés de l'angle droit sont [AB] et [AC]. On peut visualiser le théorème avec des carrés : le carré construit sur l'hypoténuse (aire BC²) a la même aire que la somme des carrés construits sur les deux autres côtés (aires AB² et AC²). Attention : ce théorème n'est vrai que dans un triangle RECTANGLE ; dans un triangle quelconque, l'égalité est fausse.

Le théorème sert ensuite à calculer une longueur manquante : si l'on connaît deux côtés, on obtient le troisième.

Le cours

Le théorème de Pythagore est l'un des résultats les plus utiles de la géométrie du collège. Il ne concerne que les triangles rectangles. Vocabulaire préalable.

Dans un triangle rectangle, l'angle droit est formé par deux côtés appelés « côtés de l'angle droit ». Le troisième côté, opposé à l'angle droit, s'appelle l'hypoténuse : c'est toujours le plus long des trois côtés. Énoncé.

Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit : BC² = AB² + AC². Il faut lire cette égalité en lien avec la figure : l'angle droit étant en A, l'hypoténuse est [BC] (le côté « sans A »), et les côtés de l'angle droit sont [AB] et [AC]. Interprétation par les aires.

Si l'on construit un carré sur chacun des trois côtés, l'aire du carré posé sur l'hypoténuse (BC²) est égale à la somme des aires des deux autres carrés (AB² + AC²). Exemple fondamental. Le triangle de côtés 3, 4 et 5 est rectangle : 3² + 4² = 9 + 16 = 25, et 5² = 25 ; l'égalité est vérifiée.

À retenir : (1) le théorème ne s'applique qu'à un triangle rectangle ; (2) on repère toujours d'abord l'hypoténuse (opposée à l'angle droit, la plus longue) ; (3) l'égalité s'écrit hypoténuse² = (côté)² + (côté)². C'est cette relation qui permettra ensuite de calculer une longueur inconnue.

Les erreurs fréquentes

On place l'hypoténuse sur un côté de l'angle droit, ou on prend le mauvais côté comme le plus grand.

L'hypoténuse est TOUJOURS le côté opposé à l'angle droit, et c'est le plus long. On repère d'abord l'angle droit, puis le côté d'en face.

On applique le théorème dans un triangle qui n'est pas rectangle.

Le théorème de Pythagore n'est valable que dans un triangle rectangle. Sans angle droit, l'égalité BC² = AB² + AC² est fausse.

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit, le plus long) et les deux côtés de l'angle droit.
• Énoncer le théorème : dans ABC rectangle en A, BC² = AB² + AC².
• Écrire correctement l'égalité selon la position de l'angle droit (rectangle en A → hypoténuse [BC]).

Vérifie que tu as compris

1. Dans un triangle ABC rectangle en A, quel côté est l'hypoténuse ?

   Réponse Le côté [BC]

   L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Le triangle est rectangle en A, donc l'hypoténuse est [BC] : c'est aussi le plus long des trois côtés.

2. Dans un triangle ABC rectangle en A, quelle égalité donne le théorème de Pythagore ?

   Réponse BC² = AB² + AC²

   Le carré de l'hypoténuse ([BC], opposée à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit : BC² = AB² + AC².

3. Avant d'appliquer le théorème de Pythagore, de quoi doit-on être certain ?

   Réponse Que le triangle est rectangle et où est son angle droit

   Le théorème ne vaut que dans un triangle rectangle, et l'égalité s'écrit à partir de l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit : il faut donc savoir où se trouve cet angle droit.