La réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle

L'essentiel

Le théorème de Pythagore direct part d'un triangle rectangle pour calculer une longueur. La réciproque fait l'inverse : elle part des trois longueurs pour PROUVER qu'un triangle est rectangle. La méthode : (1) on repère le plus grand côté (candidat hypoténuse) ; (2) on calcule d'un côté le carré du plus grand côté, de l'autre la somme des carrés des deux autres côtés ; (3) si ces deux résultats sont ÉGAUX, alors le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté.

Exemple : un triangle de côtés 5, 12 et 13. Le plus grand côté est 13. On calcule 13² = 169 et 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Les deux valent 169 : ils sont égaux, donc le triangle est rectangle (angle droit en face du côté 13).

Comprendre

La réciproque du théorème de Pythagore est l'outil qui permet de démontrer qu'un triangle EST rectangle à partir de ses trois longueurs. Énoncé : si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle, et l'hypoténuse est ce plus grand côté (l'angle droit est le sommet opposé). La démarche rigoureuse comporte trois temps. (1) Identifier le plus grand côté : c'est le seul qui puisse être l'hypoténuse d'un éventuel angle droit. (2) Calculer SÉPARÉMENT deux quantités : d'une part le carré du plus grand côté, d'autre part la somme des carrés des deux autres côtés.

On mène les deux calculs sans les mélanger. (3) Comparer : si les deux quantités sont égales, la réciproque permet de conclure que le triangle est rectangle ; l'angle droit est situé au sommet opposé au plus grand côté. Exemple : côtés 5, 12, 13. Plus grand côté : 13. D'un côté 13² = 169 ; de l'autre 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Égalité vérifiée → le triangle est rectangle, l'angle droit étant opposé au côté 13 (donc entre les côtés 5 et 12). Rédaction attendue : on annonce qu'on calcule les deux membres séparément, on constate l'égalité, puis on conclut « d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle ».

Attention à ne pas confondre avec l'inégalité triangulaire (qui teste seulement si le triangle existe) : ici on compare des CARRÉS, pas les longueurs elles-mêmes.

Le cours

La réciproque du théorème de Pythagore sert à DÉMONTRER qu'un triangle est rectangle, alors que le théorème direct servait à calculer une longueur dans un triangle déjà connu comme rectangle. Énoncé. Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle ; son hypoténuse est le plus grand côté, et l'angle droit se trouve au sommet opposé à ce côté.

Méthode de démonstration en trois étapes. Étape 1 — repérer le plus grand côté (le seul candidat au rôle d'hypoténuse). Étape 2 — calculer séparément deux quantités : A = (plus grand côté)² et B = (somme des carrés des deux autres côtés).

Étape 3 — comparer A et B : si A = B, on conclut, par la réciproque, que le triangle est rectangle (angle droit opposé au plus grand côté). Exemple détaillé. Triangle de côtés 5, 12 et 13. Le plus grand côté est 13. A = 13² = 169. B = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Comme A = B, le triangle est rectangle ; l'angle droit est opposé au côté 13 (entre les côtés 5 et 12).

Deuxième exemple. Triangle 8, 15, 17. Plus grand côté 17 : 17² = 289 ; 8² + 15² = 64 + 225 = 289 ; égalité → rectangle. Rédaction type : « Le plus grand côté est [BC].

D'une part BC² = … ; d'autre part AB² + AC² = … . Comme BC² = AB² + AC², d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. » Points de vigilance. (1) Toujours calculer les DEUX membres séparément avant de comparer. (2) L'angle droit est opposé au plus grand côté. (3) Ne pas confondre avec l'inégalité triangulaire (existence du triangle), qui compare des longueurs et non des carrés. Retenir : (grand côté)² = somme des carrés des deux autres ⟹ triangle rectangle.

Les erreurs fréquentes

On compare directement les longueurs (5 + 12 par rapport à 13), comme l'inégalité triangulaire.

La réciproque compare des CARRÉS : (plus grand côté)² et la somme des carrés des deux autres. Ici on compare 13² à 5² + 12², pas 13 à 5 + 12.

On calcule un seul membre ou on mélange les calculs, sans comparer clairement les deux quantités.

On calcule SÉPARÉMENT le carré du plus grand côté d'une part, la somme des carrés des deux autres d'autre part, puis on compare : l'égalité permet de conclure.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la réciproque : si (plus grand côté)² = somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle.
• Repérer le plus grand côté et calculer séparément les deux quantités (ex. 5, 12, 13 → 169 et 169).
• Conclure que le triangle est rectangle et situer l'angle droit (opposé au plus grand côté).

Vérifie que tu as compris

1. Un triangle a pour côtés 5, 12 et 13. Est-il rectangle ?

   Réponse Oui, car 5² + 12² = 13²

   5² + 12² = 25 + 144 = 169 et 13² = 169 : les deux sont égaux, donc d'après la réciproque le triangle est rectangle (angle droit opposé au côté 13).

2. Que dit la réciproque du théorème de Pythagore ?

   Réponse Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle

   La réciproque permet de démontrer qu'un triangle est rectangle : on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres ; s'ils sont égaux, le triangle est rectangle.

3. Pour utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, par quoi doit-on commencer ?

   Réponse Par repérer le plus grand côté du triangle

   La réciproque compare le carré du PLUS GRAND côté à la somme des carrés des deux autres : il faut donc d'abord repérer ce plus grand côté, seul candidat au rôle d'hypoténuse.