La contraposée : prouver qu'un triangle n'est pas rectangle

L'essentiel

La contraposée sert à prouver qu'un triangle N'EST PAS rectangle. La méthode ressemble à celle de la réciproque, mais la conclusion s'inverse : (1) on repère le plus grand côté ; (2) on calcule d'un côté le carré du plus grand côté, de l'autre la somme des carrés des deux autres côtés ; (3) si ces deux résultats sont DIFFÉRENTS, alors le triangle n'est pas rectangle. Exemple : un triangle de côtés 4, 5 et 6. Le plus grand côté est 6. On calcule 6² = 36 et 4² + 5² = 16 + 25 = 41. Comme 36 ≠ 41, le triangle n'est pas rectangle.

Il n'y a donc pas d'angle droit dans ce triangle.

Comprendre

La contraposée du théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle n'est PAS rectangle. Énoncé : si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle. La démarche est symétrique de celle de la réciproque et comporte les mêmes trois temps, seule la conclusion change. (1) Repérer le plus grand côté (le seul qui pourrait jouer le rôle d'hypoténuse s'il y avait un angle droit). (2) Calculer séparément deux quantités : le carré du plus grand côté d'une part, la somme des carrés des deux autres côtés d'autre part. (3) Comparer : si les deux quantités sont DIFFÉRENTES, on conclut que le triangle n'est pas rectangle.

Exemple : côtés 4, 5, 6. Plus grand côté : 6. D'un côté 6² = 36 ; de l'autre 4² + 5² = 16 + 25 = 41. Comme 36 ≠ 41, le triangle n'est pas rectangle. Rédaction attendue : on calcule les deux membres séparément, on constate qu'ils sont différents, puis on conclut « d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle ». Il faut bien remarquer que réciproque et contraposée reposent sur le MÊME calcul (comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres) : c'est le résultat de la comparaison (égalité ou non) qui décide de la conclusion — rectangle si égaux, non rectangle si différents.

Comme pour la réciproque, on compare des carrés, jamais les longueurs directement.

Le cours

La contraposée du théorème de Pythagore est l'outil qui permet de démontrer qu'un triangle N'EST PAS rectangle. Elle complète la réciproque : ensemble, elles couvrent les deux conclusions possibles à partir des trois longueurs d'un triangle. Énoncé.

Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle. Méthode en trois étapes (identiques à la réciproque, conclusion inversée). Étape 1 — repérer le plus grand côté.

Étape 2 — calculer séparément A = (plus grand côté)² et B = (somme des carrés des deux autres côtés). Étape 3 — comparer A et B : si A ≠ B, on conclut que le triangle n'est pas rectangle. Exemple détaillé.

Triangle de côtés 4, 5, 6. Plus grand côté : 6. A = 6² = 36. B = 4² + 5² = 16 + 25 = 41. Comme A ≠ B (36 ≠ 41), le triangle n'est pas rectangle. Deuxième exemple. Triangle 7, 8, 12. Plus grand côté 12 : A = 12² = 144 ; B = 7² + 8² = 49 + 64 = 113 ; comme 144 ≠ 113, le triangle n'est pas rectangle.

Lien réciproque / contraposée. Les deux démonstrations reposent sur le même calcul : on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. Si les deux quantités sont égales, la réciproque conclut « rectangle » ; si elles sont différentes, la contraposée conclut « pas rectangle ».

Rédaction type : « Le plus grand côté est [AB]. D'une part AB² = … ; d'autre part AC² + BC² = … . Comme AB² ≠ AC² + BC², d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle. » Points de vigilance. (1) Comparer des carrés, pas les longueurs. (2) Mener les deux calculs séparément avant de conclure. (3) Distinguer clairement la conclusion : égalité → rectangle (réciproque) ; différence → pas rectangle (contraposée).

Retenir : (grand côté)² ≠ somme des carrés des deux autres ⟹ triangle non rectangle.

Les erreurs fréquentes

On conclut « rectangle » alors que les deux quantités sont différentes (on confond les deux conclusions).

Si (plus grand côté)² ≠ somme des carrés des deux autres, le triangle n'est PAS rectangle. L'égalité donnerait « rectangle » ; la différence donne « non rectangle ».

On compare les longueurs (4 + 5 par rapport à 6) au lieu des carrés.

La contraposée compare des CARRÉS : 6² à 4² + 5², soit 36 à 41. On ne compare pas 6 à 4 + 5.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la contraposée : si (plus grand côté)² ≠ somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.
• Calculer séparément les deux quantités et constater la différence (ex. 4, 5, 6 → 36 ≠ 41).
• Conclure correctement (non rectangle) et distinguer ce cas de la réciproque (rectangle si égaux).

Vérifie que tu as compris

1. Un triangle a pour côtés 4, 5 et 6. On calcule 6² = 36 et 4² + 5² = 41. Ce triangle est-il rectangle ?

   Réponse Non, car 36 ≠ 41

   Le carré du plus grand côté (6² = 36) est différent de la somme des carrés des deux autres (4² + 5² = 41). D'après la contraposée, le triangle n'est pas rectangle.

2. Pour démontrer qu'un triangle n'est PAS rectangle, on compare...

   Réponse le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres : s'ils diffèrent, il n'est pas rectangle

   C'est la contraposée du théorème de Pythagore : si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.

3. On a mesuré : le carré du plus grand côté vaut 400, la somme des carrés des deux autres vaut 386. Qu'en conclut-on ?

   Réponse Le triangle n'est pas rectangle

   400 ≠ 386 : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée. D'après la contraposée du théorème, le triangle n'est pas rectangle, et il est inutile de mesurer un angle.