La moyenne — 4ᵉ

En une phrase

Pour trouver la moyenne, tu additionnes toutes les valeurs, puis tu divises par le nombre de valeurs. Par exemple pour 4, 6 et 8 : (4 + 6 + 8) ÷ 3 = 18 ÷ 3 = 6. La moyenne résume toute la série par un seul nombre.

Comprendre

Quand tu as plein de notes ou de mesures, tu veux souvent les résumer par un seul nombre représentatif : c'est le rôle de la moyenne. Pour la calculer, tu fais deux gestes simples, toujours dans cet ordre : d'abord tu ADDITIONNES toutes les valeurs (tu obtiens la somme), ensuite tu DIVISES cette somme par le nombre de valeurs (l'effectif total). Par exemple, avec les notes 4, 6 et 8 : la somme est 4 + 6 + 8 = 18, et comme il y a 3 notes, la moyenne est 18 ÷ 3 = 6. La moyenne représente une sorte de « partage équitable » : si on redistribuait tout également entre les valeurs, chacune vaudrait 6. C'est pour cela que la moyenne se situe toujours entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.

Attention à ne jamais oublier de diviser : la somme seule (18) n'est pas la moyenne. Et attention aussi à diviser par le bon nombre : si une valeur apparaît plusieurs fois, elle compte plusieurs fois dans la somme ET dans le nombre de valeurs. La moyenne est l'un des indicateurs les plus utilisés pour décrire une série, mais elle peut être trompée par une valeur très grande ou très petite : c'est pourquoi on l'accompagne parfois d'un autre indicateur, la médiane.

Le cours

La moyenne (on parle de moyenne arithmétique) est un indicateur de position qui résume une série statistique par une valeur unique. Pour la calculer, on additionne toutes les valeurs de la série, puis on divise cette somme par le nombre total de valeurs (l'effectif total) : moyenne = (somme de toutes les valeurs) ÷ (nombre de valeurs). Par exemple, pour la série 4, 6, 8, la somme vaut 4 + 6 + 8 = 18 et il y a 3 valeurs, donc la moyenne est 18 ÷ 3 = 6. Lorsqu'une même valeur se répète, on tient compte de son effectif : on l'ajoute autant de fois qu'elle apparaît, et on la compte autant de fois dans le nombre total.

Par exemple, pour des notes 10 (deux fois), 12 et 16, la somme est 10 + 10 + 12 + 16 = 48 pour 4 notes, soit une moyenne de 48 ÷ 4 = 12. Quand la série est donnée sous la forme d'un tableau valeur / effectif, on ne réécrit pas toute la liste : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne ces produits, puis on divise par l'effectif total. C'est la moyenne pondérée par les effectifs. Prenons les notes d'un contrôle — valeurs : 8, 11, 14, 18 ; effectifs : 1, 4, 3, 2. La somme des notes vaut 8 × 1 + 11 × 4 + 14 × 3 + 18 × 2 = 8 + 44 + 42 + 36 = 130, l'effectif total vaut 1 + 4 + 3 + 2 = 10, donc la moyenne est 130 ÷ 10 = 13. C'est exactement le même calcul que si l'on écrivait les dix notes une par une : la pondération ne fait que l'abréger.

La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série. On peut l'interpréter comme la valeur que prendrait chaque donnée si la quantité totale était répartie équitablement. Elle est très utilisée (moyenne de classe, température moyenne, salaire moyen), mais elle est sensible aux valeurs extrêmes : une valeur très grande ou très petite tire la moyenne vers elle.

Pour cette raison, on la complète souvent par la médiane, qui résiste mieux aux valeurs extrêmes. L'ordre des opérations est essentiel : on additionne d'abord, on divise ensuite, sans jamais oublier l'étape de la division.

Les erreurs fréquentes

Oublier de diviser : donner la somme des valeurs comme moyenne (par exemple dire que la moyenne de 4, 6, 8 est 18).

La somme (18) n'est qu'une étape. La moyenne s'obtient en divisant la somme par le nombre de valeurs : 18 ÷ 3 = 6. Il faut toujours faire la division pour terminer le calcul.

Diviser par le mauvais nombre, par exemple oublier les valeurs répétées dans le compte (compter 3 valeurs alors qu'une note apparaît deux fois).

Chaque valeur compte autant de fois qu'elle apparaît, à la fois dans la somme et dans le nombre de valeurs. Pour 10 ; 10 ; 12 ; 16, on divise par 4 (et non 3) : 48 ÷ 4 = 12.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer la moyenne d'une série en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par leur nombre.
• Tenir compte des valeurs répétées (effectifs) dans la somme et dans le nombre total de valeurs.
• Calculer une moyenne pondérée à partir d'un tableau valeur / effectif : somme des produits (valeur × effectif) divisée par l'effectif total.
• Vérifier la cohérence du résultat : la moyenne se situe toujours entre la plus petite et la plus grande valeur.

Vérifie que tu as compris

1. La moyenne des notes 4, 6 et 8 est :

   Réponse 6

   Moyenne = (4 + 6 + 8) / 3 = 18 / 3 = 6.

2. La moyenne de la série 10 ; 12 ; 14 ; 16 est :

   Réponse 13

   Moyenne = (10 + 12 + 14 + 16) / 4 = 52 / 4 = 13.

3. Un élève annonce 21 comme moyenne des notes 12 ; 15 ; 18. Sans refaire le calcul, on sait que c'est faux parce que :

   Réponse elle dépasse 18, la plus grande des trois notes

   Une moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série, donc ici entre 12 et 18. 21 est hors de cet intervalle : le calcul est faux. La vraie moyenne vaut (12 + 15 + 18) ÷ 3 = 45 ÷ 3 = 15.