La double distributivité — 4ᵉ

En une phrase

Quand tu multiplies deux parenthèses du type (a + b)(c + d), tu multiplies chaque morceau de la première parenthèse par chaque morceau de la seconde. Tu obtiens quatre produits que tu additionnes : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Comprendre

La double distributivité sert à transformer un produit de deux sommes (deux parenthèses) en une somme de produits, c'est ce qu'on appelle développer. La règle est simple à dire : chaque terme de la première parenthèse doit multiplier chaque terme de la seconde. Comme il y a deux termes dans chaque parenthèse, on obtient quatre produits : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Pour ne rien oublier, on procède dans l'ordre : a multiplie c puis d (ce qui donne ac et ad), ensuite b multiplie c puis d (ce qui donne bc et bd), et on additionne les quatre résultats. On peut comprendre cette règle avec une image : l'aire d'un rectangle. Un rectangle dont un côté mesure (a + b) et l'autre (c + d) a une aire totale (a + b)(c + d).

Mais on peut aussi le découper en quatre petits rectangles dont les aires sont ac, ad, bc et bd ; en additionnant ces quatre morceaux, on retrouve l'aire totale, ce qui justifie l'égalité. Une fois les quatre produits écrits, il reste souvent une étape : regrouper les termes semblables. Par exemple (x + 2)(x + 3) = x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x² + 3x + 2x + 6 ; comme 3x et 2x sont semblables, on les additionne : 3x + 2x = 5x, d'où x² + 5x + 6. L'erreur la plus courante est d'oublier un des quatre produits, souvent les produits « croisés » ad et bc.

Retiens donc : quatre produits, chacun croisant un terme de chaque parenthèse, puis on regroupe les termes semblables.

Le cours

La double distributivité est la règle qui permet de développer le produit de deux sommes. Pour quatre nombres ou expressions a, b, c et d, on a : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Autrement dit, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde, ce qui produit quatre termes que l'on additionne.

On obtient ces quatre produits en suivant un ordre régulier : a × c, a × d, b × c, b × d. Cette règle peut s'interpréter géométriquement par l'aire d'un rectangle. Considérons un rectangle dont la longueur est (a + b) et la largeur (c + d).

Son aire vaut (a + b)(c + d). On peut le partager en quatre rectangles plus petits, d'aires respectives ac, ad, bc et bd. La somme de ces quatre aires est égale à l'aire du grand rectangle, ce qui illustre et justifie l'égalité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Après avoir écrit les quatre produits, on réduit l'expression en regroupant les termes semblables (ceux qui ont la même partie littérale). Exemple : (x + 2)(x + 3) = x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x² + 3x + 2x + 6. Les termes 3x et 2x sont semblables, donc 3x + 2x = 5x, et l'on obtient (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6. L'essentiel à retenir : on développe en formant quatre produits (chaque terme de l'une multiplie chaque terme de l'autre), on peut s'appuyer sur l'aire d'un rectangle pour le comprendre, puis on regroupe les termes semblables.

Les erreurs fréquentes

On ne calcule que les produits « en face » et on oublie les produits croisés : (a + b)(c + d) = ac + bd.

Il faut former les quatre produits, y compris les croisés ad et bc : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

Après développement, on additionne des termes qui ne sont pas semblables, par exemple x² + 5x = 5x³ ou 5x².

On ne regroupe que les termes semblables (même partie littérale). x² et 5x sont différents et ne s'additionnent pas ; on garde x² + 5x + 6. Seuls 3x et 2x, semblables, donnent 5x.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire la double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, en formant les quatre produits.
• Relier ce développement à l'aire d'un rectangle de côtés (a + b) et (c + d) découpé en quatre parties.
• Développer puis réduire un produit, par exemple (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.

Vérifie que tu as compris

1. Le développement de (a + b)(c + d) est :

   Réponse ac + ad + bc + bd

   Double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

2. Le développement de (2x + 3)(x + 4) est :

   Réponse 2x² + 11x + 12

   (2x+3)(x+4) = 2x² + 8x + 3x + 12 = 2x² + 11x + 12 (on regroupe 8x + 3x = 11x).

3. Pour développer (x + 3)(x + 4), combien de produits doit-on écrire avant de réduire ?

   Réponse quatre

   Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : x × x, x × 4, 3 × x et 3 × 4, soit quatre produits. On obtient x² + 4x + 3x + 12, puis on réduit 4x + 3x = 7x, d'où x² + 7x + 12.