Développer une expression

En une phrase

Développer, c'est partir d'un produit (avec des parenthèses) et le transformer en somme. Tu multiplies bien TOUS les termes, puis tu ranges en regroupant ce qui se ressemble.

Comprendre

Développer une expression, c'est passer d'un produit à une somme. Tu as une multiplication, souvent avec des parenthèses, et tu veux l'écrire sans parenthèses, sous forme d'une addition de termes. L'outil pour faire ça, c'est la distributivité.

Avec un seul facteur devant une parenthèse, c'est la distributivité simple : k(a + b) = ka + kb. Par exemple 3(x + 4) = 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12. Avec deux parenthèses, c'est la double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd ; chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Par exemple (x + 2)(x + 3) = x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x² + 3x + 2x + 6. La dernière étape, à ne jamais oublier, c'est de regrouper les termes semblables, c'est-à-dire d'additionner ceux qui se ressemblent : ici 3x + 2x = 5x, donc le résultat final est x² + 5x + 6. Le piège principal est d'oublier de multiplier un terme : il faut bien multiplier TOUS les termes entre eux.

Développer est l'opération inverse de factoriser : développer ouvre les parenthèses, factoriser les referme.

Le cours

Développer une expression littérale, c'est l'écrire sous la forme d'une somme alors qu'elle était écrite sous la forme d'un produit. On ouvre les parenthèses. L'outil qui le permet est la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

On distingue deux cas. La distributivité simple s'applique quand un facteur multiplie une parenthèse : k(a + b) = ka + kb. Chaque terme de la parenthèse est multiplié par le facteur k.

Exemple : 3(x + 4) = 3x + 12. La double distributivité s'applique quand un produit de deux parenthèses est en jeu : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, ce qui donne quatre produits. Exemple : (x + 2)(x + 3) = x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x² + 3x + 2x + 6. Une fois tous les produits écrits, on termine toujours par le regroupement des termes semblables : on additionne entre eux les termes qui ont la même partie littérale.

Ici 3x et 2x sont semblables, donc 3x + 2x = 5x, et l'expression développée et réduite vaut x² + 5x + 6. Il faut être très attentif à multiplier tous les termes : l'erreur la plus fréquente est d'en oublier un. Développer est l'opération inverse de factoriser : développer transforme un produit en somme, factoriser transforme une somme en produit.

Les erreurs fréquentes

Oublier de multiplier un terme, par exemple écrire 3(x + 4) = 3x + 4 (on n'a multiplié que le x).

Il faut multiplier TOUS les termes de la parenthèse par le facteur : 3(x + 4) = 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12. Aucun terme ne doit être oublié.

Oublier de regrouper les termes semblables, par exemple s'arrêter à (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6.

Après avoir développé, on additionne les termes semblables : 3x + 2x = 5x, donc le résultat réduit est x² + 5x + 6.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître qu'il faut développer (passer d'un produit à une somme) et choisir la bonne distributivité (simple ou double).
• Multiplier correctement tous les termes entre eux, sans en oublier aucun.
• Regrouper les termes semblables pour donner l'expression développée et réduite (ex. x² + 5x + 6).

Vérifie que tu as compris

1. Le développement de (x + 2)(x + 3) est :

   Réponse x² + 5x + 6

   (x+2)(x+3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 (on regroupe 3x + 2x = 5x).

2. Développer 4(x + 3) donne :

   Réponse 4x + 12

   On distribue le 4 sur chaque terme : 4 × x + 4 × 3 = 4x + 12.

3. Un élève écrit 5(x + 2) = 5x + 2. Quelle est son erreur ?

   Réponse il n'a pas multiplié le 2 par 5

   La distributivité impose de multiplier chaque terme de la parenthèse par le facteur : 5(x + 2) = 5 × x + 5 × 2 = 5x + 10. L'élève n'a multiplié que le x et a recopié le 2 tel quel.