L'aire du triangle

En une phrase

L'aire d'un rectangle, c'est la quantité de surface qu'il couvre. Tu la calcules en multipliant : A = Longueur × largeur. Ça se mesure en carrés : cm², m². Exemple : 5 cm × 3 cm = 15 cm². Un triangle, lui, est la moitié d'un rectangle de mêmes base et hauteur : A = base × hauteur ÷ 2, par exemple 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm².

Comprendre

L'aire d'une figure mesure la place qu'occupe sa surface, comme la quantité de peinture qu'il faudrait pour la recouvrir. Pour un rectangle, imagine que tu le quadrilles en petits carrés de 1 cm de côté (des carrés de 1 cm²). Si le rectangle mesure 5 cm de Longueur et 3 cm de largeur, tu peux ranger 5 carrés sur chaque rangée et tu obtiens 3 rangées : en tout 5 × 3 = 15 petits carrés.

L'aire vaut donc 15 cm². C'est exactement ce que donne la formule : A = Longueur × largeur. L'unité d'aire est une unité « carrée » : cm², m², km²… parce qu'on compte des carrés.

C'est différent du périmètre, qui mesure le tour en cm. Attention à ne pas confondre : pour le périmètre on additionne les côtés, pour l'aire on multiplie la Longueur par la largeur. Un triangle se déduit directement du rectangle : trace un rectangle de mêmes base et hauteur autour du triangle, et tu verras que le triangle en occupe exactement la MOITIÉ.

D'où la formule : aire du triangle = base × hauteur ÷ 2. Avec une base de 6 cm et une hauteur de 4 cm, cela donne 6 × 4 ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12 cm². Attention : la hauteur, c'est la distance perpendiculaire entre la base CHOISIE et le sommet opposé — pas la longueur d'un côté penché. Retiens l'essentiel : l'aire d'un rectangle = Longueur × largeur, celle d'un triangle = base × hauteur ÷ 2, et le résultat est toujours en unité carrée (cm², m²).

Le cours

L'aire d'une surface est la mesure de l'étendue qu'elle occupe. Pour la mesurer, on choisit une unité d'aire : le plus souvent le centimètre carré (cm²), c'est-à-dire l'aire d'un carré de 1 cm de côté. L'aire d'une figure correspond alors au nombre de fois que cette unité tient dans la figure.

Pour un rectangle, on peut le paver par des carrés unités : un rectangle de Longueur L et de largeur l contient l rangées de L carrés, soit L × l carrés. On en déduit la formule de l'aire d'un rectangle : A = Longueur × largeur. Par exemple, un rectangle de 5 cm de Longueur et de 3 cm de largeur a pour aire A = 5 × 3 = 15 cm².

Le carré, cas particulier de côté c, a pour aire A = c × c. L'unité d'aire est toujours une unité carrée : cm², m², km²… On utilise le cm² pour de petites surfaces, le m² pour une pièce ou un terrain, le km² pour un pays.

Il ne faut pas confondre l'aire et le périmètre : le périmètre mesure le contour (une longueur, en cm) en additionnant les côtés, tandis que l'aire mesure la surface intérieure (en cm²) en multipliant la Longueur par la largeur. L'aire du rectangle est une formule fondamentale : elle donne directement celle du triangle. En effet, tout triangle peut être placé dans un rectangle de mêmes base et hauteur, dont il occupe exactement la moitié : on en déduit que l'aire d'un triangle vaut base × hauteur ÷ 2. Par exemple, un triangle de base 6 cm et de hauteur 4 cm a pour aire A = 6 × 4 ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12 cm².

Dans cette formule, la hauteur est la distance perpendiculaire entre la base choisie et le sommet opposé : ce n'est pas la longueur d'un côté oblique, et un même triangle peut se calculer avec l'une ou l'autre de ses trois bases, le résultat étant toujours le même. L'aire du rectangle sert de la même façon à comprendre celle du parallélogramme et le volume du pavé droit.

Les erreurs fréquentes

On calcule l'aire en additionnant la Longueur et la largeur, comme pour un périmètre.

L'aire d'un rectangle se calcule en multipliant : A = Longueur × largeur. Par exemple 5 × 3 = 15 cm², et non 5 + 3 = 8. L'addition des côtés sert au périmètre, pas à l'aire.

Pour l'aire d'un triangle, on multiplie la base par la hauteur sans diviser par 2.

Le triangle n'occupe que la MOITIÉ du rectangle de mêmes base et hauteur : il faut diviser par 2. Avec une base de 6 cm et une hauteur de 4 cm, l'aire vaut 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm², et non 24 cm² (qui est l'aire du rectangle).

On donne l'aire en cm (une longueur) au lieu de cm² (une surface).

L'aire se mesure en unités carrées car on compte des carrés : cm², m², km²… On écrit 15 cm² et non 15 cm. Le cm tout seul est réservé aux longueurs comme le périmètre.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire l'aire d'un rectangle comme la mesure de sa surface, égale à Longueur × largeur.
• Calculer l'aire d'un rectangle (ex. 5 cm × 3 cm = 15 cm²) en multipliant ses deux dimensions.
• Exprimer une aire dans une unité carrée (cm², m²) et la distinguer du périmètre (en cm).
• Calculer l'aire d'un triangle par base × hauteur ÷ 2 (ex. 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm²), en repérant la hauteur perpendiculaire à la base choisie.

Vérifie que tu as compris

1. L'aire d'un rectangle de 5 cm sur 3 cm est :

   Réponse 15 cm²

   Aire = Longueur × largeur = 5 × 3 = 15 cm² (une aire s'exprime en cm²).

2. L'aire se mesure en cm², le périmètre se mesure en :

   Réponse cm

   Le périmètre est une longueur : il se mesure en cm. L'aire (une surface) est en cm².

3. L'aire d'un carré de côté 6 cm est :

   Réponse 36 cm²

   Aire du carré = côté × côté = 6 × 6 = 36 cm².