L'aire du disque

En une phrase

Pour trouver l'aire d'un disque, tu utilises le rayon (la distance du centre au bord) : Aire = π × rayon × rayon. Attention, c'est le RAYON qu'on prend, pas le diamètre, et on le multiplie deux fois par lui-même.

Comprendre

Le disque, c'est la surface ronde à l'intérieur d'un cercle (le cercle, lui, n'est que le bord). Pour calculer l'aire de ce disque, il te faut une seule mesure : le rayon. Le rayon, c'est la distance qui va du centre jusqu'au bord.

La formule est : Aire = π × rayon × rayon, ce qu'on écrit aussi π × r². Le nombre π (pi) vaut environ 3,14 : c'est un nombre qui apparaît dès qu'on travaille avec des cercles. Deux pièges très fréquents : d'abord, il faut bien prendre le RAYON et non le diamètre (le diamètre est deux fois trop grand ; si on te donne le diamètre, tu le divises par 2 pour avoir le rayon).

Ensuite, il ne faut pas confondre l'aire du disque (la surface, en cm²) avec la circonférence du cercle (la longueur du tour, qui vaut 2 × π × rayon) : ce sont deux choses différentes. Prenons un exemple : un disque de rayon 3 cm. Son aire vaut π × 3 × 3 = π × 9 = 9 π, ce qui fait environ 9 × 3,14 ≈ 28,3 cm².

Le résultat est une surface, donc il s'exprime en cm². Retiens l'essentiel : aire du disque = π × rayon × rayon, avec le rayon, au carré.

Le cours

Le disque est la surface délimitée par un cercle ; le cercle lui-même n'est que la ligne qui forme le bord. Pour calculer l'aire d'un disque, on utilise son rayon r, c'est-à-dire la distance entre le centre et un point du bord. La formule de l'aire du disque est : Aire = π × r × r, que l'on note aussi A = π × r².

Le nombre π (pi) est un nombre constant, à peu près égal à 3,14, qui intervient dans tous les calculs liés aux cercles et aux disques. Deux précautions sont indispensables. Premièrement, il faut utiliser le rayon et non le diamètre : si l'énoncé donne le diamètre, on le divise par 2 pour obtenir le rayon avant d'appliquer la formule.

Utiliser le diamètre conduit à un résultat beaucoup trop grand. Deuxièmement, il ne faut pas confondre l'aire du disque, qui mesure une surface et s'exprime en unités d'aire (cm², m²), avec la circonférence du cercle, qui mesure une longueur (le tour) et vaut 2 × π × r : ce sont deux grandeurs distinctes. Exemple de calcul : pour un disque de rayon 3 cm, l'aire vaut π × 3 × 3 = π × 9 = 9 π ≈ 9 × 3,14 ≈ 28,3 cm².

Le résultat est exprimé en cm² car il s'agit d'une aire. En résumé, l'aire d'un disque se calcule toujours avec le rayon, élevé au carré, multiplié par π.

Les erreurs fréquentes

On utilise le diamètre à la place du rayon dans la formule de l'aire du disque.

La formule utilise le RAYON : Aire = π × rayon × rayon. Si l'on connaît le diamètre, il faut d'abord le diviser par 2 pour obtenir le rayon. Utiliser le diamètre donne un résultat bien trop grand.

On confond l'aire du disque avec la circonférence du cercle et on calcule 2 × π × rayon pour l'aire.

2 × π × rayon est la circonférence, c'est-à-dire la longueur du tour (en cm). L'aire du disque, qui est une surface (en cm²), vaut π × rayon × rayon. Ce sont deux grandeurs différentes.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer et appliquer la formule de l'aire du disque : Aire = π × rayon × rayon (π × r²).
• Utiliser le rayon (et passer du diamètre au rayon en divisant par 2 si nécessaire).
• Distinguer l'aire du disque (surface, en cm²) de la circonférence du cercle (longueur, 2 × π × rayon).

Vérifie que tu as compris

1. L'aire d'un disque de rayon 3 cm est :

   Réponse 9 π cm² (≈ 28,3)

   Aire du disque = π × r² = π × 3² = 9 π ≈ 28,3 cm² (on utilise le rayon, au carré).

2. Un disque a une aire de 16 π cm². Combien mesure son rayon ?

   Réponse 4 cm

   L'aire d'un disque vaut π × r × r, donc π × r × r = 16 × π donne r × r = 16. Le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 16, c'est 4 : le rayon vaut 4 cm. Diviser par 2 (8 cm), recopier 16 ou élever au carré (256 cm) ne redonne pas 16 π une fois la formule appliquée.

3. Quelle formule donne l'aire d'un disque de rayon r ?

   Réponse π × r × r

   L'aire du disque vaut π × r², c'est-à-dire π × r × r. La formule 2 × π × r donne la longueur du cercle : c'est une longueur, pas une aire. La formule 2 × π × r × r mélange les deux et n'existe pas.