L'aire du parallélogramme

En une phrase

Pour trouver l'aire d'un parallélogramme, tu multiplies une base par sa hauteur : base × hauteur. La hauteur, c'est la distance qui va d'un côté à l'autre, bien droite (perpendiculaire à la base), pas le côté penché.

Comprendre

Un parallélogramme ressemble à un rectangle qu'on aurait poussé sur le côté : il est « penché ». Pourtant, son aire se calcule presque comme celle du rectangle. Tu choisis un côté que tu appelles la base, puis tu mesures la hauteur : c'est la distance entre cette base et le côté opposé, mesurée bien droite, perpendiculairement à la base.

L'aire vaut alors base × hauteur. Attention : la hauteur n'est PAS le côté penché du parallélogramme ! Le côté penché est plus long que la vraie hauteur, et l'utiliser donnerait un résultat trop grand.

Pour comprendre d'où vient cette formule, imagine que tu découpes un petit triangle d'un côté du parallélogramme et que tu le déplaces de l'autre côté : tu obtiens un rectangle ! Et ce rectangle a exactement la même base et la même hauteur que le parallélogramme de départ. Comme déplacer un morceau ne change pas la surface, le parallélogramme et le rectangle ont la même aire : base × hauteur.

Le résultat s'écrit dans une unité d'aire (cm², m²…). Par exemple, un parallélogramme de base 6 cm et de hauteur 4 cm a une aire de 6 × 4 = 24 cm².

Le cours

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Pour calculer son aire, on choisit l'un de ses côtés que l'on appelle la base, puis on détermine la hauteur correspondante : la hauteur est la distance entre la base choisie et le côté opposé, mesurée perpendiculairement à la base. L'aire du parallélogramme est alors donnée par la formule : Aire = base × hauteur.

Il est essentiel de bien distinguer la hauteur du côté penché (oblique) du parallélogramme : ce côté est plus long que la hauteur et ne doit pas être utilisé dans le calcul. Cette formule se justifie par un découpage : si l'on découpe le triangle rectangle situé à une extrémité du parallélogramme et qu'on le replace à l'autre extrémité, on obtient un rectangle qui possède la même base et la même hauteur que le parallélogramme. Comme on a seulement déplacé un morceau sans rien ajouter ni enlever, l'aire est conservée : le parallélogramme a donc la même aire que ce rectangle, soit base × hauteur.

Le résultat doit toujours être exprimé dans une unité d'aire (cm², m², etc.) cohérente avec les unités des longueurs. Exemple : pour une base de 6 cm et une hauteur de 4 cm, l'aire vaut 6 × 4 = 24 cm². Cette formule relie directement le parallélogramme au rectangle, déjà connu, et prépare l'étude de l'aire du triangle (la moitié d'un parallélogramme).

Les erreurs fréquentes

On multiplie la base par le côté penché (le côté oblique) du parallélogramme pour trouver l'aire.

Il faut multiplier la base par la HAUTEUR, c'est-à-dire la distance perpendiculaire entre la base et le côté opposé. Le côté penché est plus long que la hauteur : l'utiliser donne un résultat trop grand.

On additionne la base et la hauteur (base + hauteur) au lieu de les multiplier.

L'aire est un produit : Aire = base × hauteur, pas une somme. Additionner les longueurs donnerait une longueur, pas une aire.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer et appliquer la formule de l'aire du parallélogramme : Aire = base × hauteur.
• Repérer la hauteur correspondant à une base (perpendiculaire à la base) sans la confondre avec le côté penché.
• Relier l'aire du parallélogramme à celle d'un rectangle de mêmes base et hauteur grâce au découpage.

Vérifie que tu as compris

1. L'aire d'un parallélogramme de base 7 cm et de hauteur 4 cm est :

   Réponse 28 cm²

   Aire du parallélogramme = base × hauteur = 7 × 4 = 28 cm² (on ne divise PAS par 2, contrairement au triangle).

2. Pour calculer l'aire d'un parallélogramme, la hauteur à utiliser est :

   Réponse la distance perpendiculaire entre la base et le côté qui lui est parallèle

   La hauteur d'un parallélogramme est la distance PERPENDICULAIRE entre la base et le côté opposé, qui lui est parallèle. Le côté oblique est plus long que cette hauteur : l'utiliser surestime l'aire.

3. Un rectangle de 8 cm sur 3 cm et un parallélogramme de base 8 cm et de hauteur 3 cm : que peut-on dire de leurs aires ?

   Réponse elles sont égales : 24 cm² chacune

   Les deux aires valent base × hauteur = 8 × 3 = 24 cm². Le parallélogramme se découpe et se recompose exactement en ce rectangle : c'est de là que vient la formule. Leurs PÉRIMÈTRES, eux, sont différents.