Angles alternes-internes et correspondants

En une phrase

Trace deux droites parallèles, puis une troisième droite (la sécante) qui les traverse toutes les deux. Elle crée des angles. Les angles alternes-internes (entre les deux parallèles, de part et d'autre de la sécante, et sans sommet commun) sont égaux ; les correspondants (à la même place) aussi. Mais attention : ça ne marche que si les deux droites sont vraiment parallèles.

Comprendre

Quand une droite, appelée sécante, traverse deux autres droites, elle forme des angles aux deux points de croisement. Parmi ces angles, deux familles sont importantes. Les angles correspondants occupent la même position aux deux croisements : par exemple « en haut à droite » de chaque intersection.

Les angles alternes-internes vérifient TROIS conditions : ils sont situés entre les deux droites coupées (à l'intérieur), de part et d'autre de la sécante (en alternance, l'un d'un côté, l'autre de l'autre côté), et ils n'ont PAS le même sommet — ils sont pris à des points d'intersection différents. Cette troisième condition compte : deux angles intérieurs pris au même croisement, de part et d'autre de la sécante, ne sont pas alternes-internes. Voici la propriété clé : si les deux droites coupées sont parallèles, alors les angles alternes-internes sont égaux, et les angles correspondants sont égaux eux aussi.

C'est très utile, car cela permet de retrouver la mesure d'un angle sans le mesurer : il suffit de connaître son alterne-interne ou son correspondant. Mais il faut bien retenir la condition : cela n'est vrai que lorsque les droites sont parallèles. Si les deux droites ne sont pas parallèles, les angles alternes-internes ne sont pas égaux ; on ne peut donc pas appliquer la propriété.

À l'inverse, on peut aussi s'en servir comme test : si deux angles alternes-internes sont égaux, c'est que les droites sont parallèles. Retiens donc : droites parallèles coupées par une sécante → alternes-internes égaux et correspondants égaux ; pas de parallélisme → pas d'égalité.

Le cours

Lorsqu'une droite, appelée sécante, coupe deux autres droites, elle forme des angles aux deux points d'intersection. On distingue notamment les angles correspondants et les angles alternes-internes. Deux angles correspondants occupent la même position relative aux deux intersections (par exemple tous deux en haut et à droite de leur point de croisement).

Deux angles alternes-internes sont situés à l'intérieur de la bande comprise entre les deux droites coupées, et de part et d'autre de la sécante (en position alternée). La propriété fondamentale est la suivante : si les deux droites coupées sont parallèles, alors les angles alternes-internes formés par la sécante sont égaux, et les angles correspondants sont également égaux. Cette propriété est essentielle car elle permet de déterminer la mesure d'un angle à partir d'un autre angle qui lui est alterne-interne ou correspondant.

Il faut impérativement vérifier la condition de parallélisme : si les droites ne sont pas parallèles, l'égalité n'est plus vraie et la propriété ne s'applique pas. Réciproquement, cette propriété sert de critère de parallélisme : si l'on constate que deux angles alternes-internes (ou correspondants) sont égaux, on peut en déduire que les deux droites sont parallèles. Cette relation entre parallélisme et égalité d'angles est un outil de raisonnement central en géométrie au collège.

Les erreurs fréquentes

Les angles alternes-internes sont toujours égaux, même si les droites ne sont pas parallèles.

L'égalité des angles alternes-internes (et correspondants) n'est vraie que si les deux droites coupées sont parallèles. Sans parallélisme, ces angles ne sont pas égaux.

Pour que les angles soient égaux, il suffit que les côtés de l'angle soient longs ou que la sécante soit bien droite.

Ce qui compte, c'est uniquement le parallélisme des deux droites coupées. La longueur des traits ou l'inclinaison de la sécante ne change rien à la condition.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire les angles alternes-internes et correspondants formés par deux droites coupées par une sécante.
• Relier le parallélisme des deux droites à l'égalité des angles alternes-internes (ou correspondants).
• Comprendre que l'égalité de ces angles est fausse si les deux droites ne sont pas parallèles.

Vérifie que tu as compris

1. Quand deux droites sont parallèles, les angles alternes-internes formés par une sécante sont :

   Réponse égaux

   Deux parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure (égaux).

2. Quand deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants sont :

   Réponse égaux : ils ont la même mesure

   Entre deux droites parallèles, les angles correspondants formés par une sécante ont la même mesure (égaux).

3. Deux angles situés entre deux droites coupées par une sécante, de part et d'autre de cette sécante et à des sommets différents, s'appellent des angles :

   Réponse alternes-internes

   Internes parce qu'ils sont entre les deux droites, alternes parce qu'ils sont de part et d'autre de la sécante, et pris à des sommets différents (non adjacents) : ils dessinent un Z. Les angles correspondants, eux, occupent la même position aux deux croisements et dessinent un F.