Construire un triangle

En une phrase

Pour qu'un triangle existe avec trois longueurs données, le plus grand côté doit rester plus court que les deux autres mis bout à bout. Sinon il est « à plat » ou impossible. Pour le tracer : un côté à la règle, puis deux arcs de compas qui se croisent.

Comprendre

Quand on te donne trois longueurs, elles ne forment pas toujours un triangle. La règle qui décide s'appelle l'inégalité triangulaire : un triangle existe seulement si la longueur de chaque côté est INFÉRIEURE à la somme des deux autres. Le plus simple est de vérifier le plus grand côté : s'il est plus court que les deux autres bout à bout, c'est gagné.

Par exemple 3, 4 et 5 : le plus grand est 5, et 5 < 3 + 4 = 7, donc le triangle existe. Au contraire 2, 3 et 6 : le plus grand est 6, mais 6 > 2 + 3 = 5, donc les deux petits côtés sont trop courts pour se rejoindre : le triangle est impossible. Si le plus grand est exactement égal à la somme (par exemple 2, 3 et 5), le triangle est « à plat », les trois points sont alignés.

Une fois que tu sais qu'il existe, tu le construis avec deux outils. D'abord la règle : tu traces un premier côté de la bonne longueur. Ensuite le compas : tu prends une longueur entre les pointes, tu plantes la pointe sur une extrémité du côté et tu traces un arc ; tu recommences depuis l'autre extrémité avec la troisième longueur.

Là où les deux arcs se croisent se trouve le troisième sommet : il ne reste qu'à le relier aux deux premiers. Retiens donc deux choses : la règle qui dit si le triangle existe, et la méthode règle + deux arcs de compas pour le tracer.

Le cours

L'inégalité triangulaire est la condition d'existence d'un triangle à partir de trois longueurs. Elle dit que, dans tout triangle, la longueur d'un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Pour tester trois longueurs, il suffit en pratique de regarder le plus grand côté : si ce plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres, le triangle existe ; s'il lui est supérieur, le triangle est impossible (les deux côtés courts ne se rejoignent pas) ; s'il lui est exactement égal, les trois points sont alignés et le triangle est « à plat ».

Exemples : avec 3, 4 et 5, le plus grand côté 5 vérifie 5 < 3 + 4, le triangle existe ; avec 2, 3 et 6, le plus grand côté 6 vérifie 6 > 2 + 3, le triangle est impossible. La construction d'un triangle dont on connaît les trois côtés se fait à la règle et au compas, en quatre étapes. 1) On trace un premier côté de la longueur voulue à la règle graduée et on nomme ses deux extrémités. 2) On règle le compas sur la longueur du deuxième côté, on pique la pointe sur une extrémité et on trace un arc de cercle. 3) On règle le compas sur la longueur du troisième côté, on pique sur l'autre extrémité et on trace un second arc. 4) Le point d'intersection des deux arcs est le troisième sommet ; on le relie aux deux extrémités du premier côté pour terminer le triangle. Cette méthode fonctionne uniquement lorsque l'inégalité triangulaire est respectée : sinon les deux arcs ne se croisent pas.

Inégalité triangulaire et construction sont donc liées : la première dit si le triangle est possible, la seconde permet de le tracer.

Les erreurs fréquentes

Trois longueurs forment toujours un triangle, par exemple 2, 3 et 6.

Non : il faut respecter l'inégalité triangulaire. Avec 2, 3 et 6, le plus grand côté 6 est supérieur à 2 + 3 = 5, donc les deux petits côtés ne se rejoignent pas : le triangle est impossible.

Pour construire un triangle dont on connaît les trois côtés, il suffit de la règle, le compas ne sert à rien.

Le compas est indispensable : après avoir tracé un côté à la règle, on trace deux arcs de compas (un depuis chaque extrémité) dont l'intersection donne le troisième sommet.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer l'inégalité triangulaire : un triangle existe si chaque côté est inférieur à la somme des deux autres.
• Décider si trois longueurs forment un triangle en comparant le plus grand côté à la somme des deux autres (ex. 3,4,5 oui ; 2,3,6 non).
• Décrire la construction d'un triangle de trois côtés connus : un côté à la règle, puis deux arcs de compas qui se croisent.

Vérifie que tu as compris

1. On connaît les longueurs des trois côtés d'un triangle. Quel instrument permet de reporter les deux derniers côtés ?

   Réponse le compas

   Après avoir tracé un premier côté à la règle, on reporte les deux autres longueurs au compas : chaque arc rassemble tous les points situés à la bonne distance. Le rapporteur, lui, sert à mesurer des angles.

2. On veut construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm, BC = 4 cm et AC = 3 cm. Par quelle étape commence-t-on ?

   Réponse on trace le segment [AB] de 5 cm

   On commence par tracer un côté à la règle, en général le plus grand : ici [AB] de 5 cm. Ensuite seulement on trace l'arc de rayon 3 cm de centre A et l'arc de rayon 4 cm de centre B ; leur intersection donne le point C.