Une expression à plusieurs opérations

En une phrase

Quand un calcul contient à la fois des ×, des ÷, des + et des −, tu suis toujours le même ordre : d'abord les parenthèses, ensuite les multiplications et divisions, et pour finir les additions et soustractions. À priorité égale, tu vas de gauche à droite.

Comprendre

Une expression un peu longue mélange souvent plusieurs opérations. Pour ne pas se tromper, on applique la chaîne complète des priorités, dans cet ordre : (1) on calcule d'abord les parenthèses ; (2) on effectue ensuite toutes les multiplications et divisions, de gauche à droite ; (3) on termine par toutes les additions et soustractions, de gauche à droite. Le point clé, c'est que les × et ÷ passent AVANT les + et −.

Prenons 20 − 3 × 4 + 6 ÷ 2. Il n'y a pas de parenthèses, on cherche donc d'abord les multiplications et divisions : 3 × 4 = 12 et 6 ÷ 2 = 3. L'expression se réécrit alors 20 − 12 + 3. Il ne reste que des additions et des soustractions : on les effectue de gauche à droite, 20 − 12 = 8, puis 8 + 3 = 11. Le résultat est 11. Attention : à priorité égale, l'ordre gauche-droite compte. Le × et le ÷ ont la même priorité, tout comme le + et le − ; c'est leur position dans l'écriture qui les départage. Se tromper d'ordre — par exemple tout calculer de gauche à droite sans respecter la priorité des × et ÷ — donne un résultat faux.

Bien organiser ces étapes est la clé pour réussir n'importe quel calcul à plusieurs opérations.

Le cours

Une expression numérique peut contenir simultanément des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions, parfois avec des parenthèses. Pour la calculer sans ambiguïté, on applique les priorités opératoires dans leur ordre complet. Étape 1 : on calcule ce qui est entre parenthèses.

Étape 2 : on effectue les multiplications et les divisions, en parcourant l'expression de gauche à droite. Étape 3 : on effectue les additions et les soustractions, également de gauche à droite. Multiplications et divisions ont la même priorité entre elles ; additions et soustractions aussi.

À priorité égale, c'est l'ordre d'écriture, de la gauche vers la droite, qui décide. Prenons l'exemple 20 − 3 × 4 + 6 ÷ 2. Aucune parenthèse : on commence par les × et ÷. On calcule 3 × 4 = 12 et 6 ÷ 2 = 3. L'expression devient 20 − 12 + 3. On passe alors aux + et −, de gauche à droite : 20 − 12 = 8, puis 8 + 3 = 11. Donc 20 − 3 × 4 + 6 ÷ 2 = 11. Une erreur fréquente consiste à calculer simplement de gauche à droite : 20 − 3 = 17, puis 17 × 4 = 68, et ainsi de suite.

On obtient alors un résultat totalement faux, car on n'a pas donné la priorité aux multiplications et divisions. Retenir la chaîne « parenthèses, puis × et ÷, puis + et − » et l'appliquer méthodiquement garantit le bon résultat, quel que soit le nombre d'opérations.

Les erreurs fréquentes

On calcule de gauche à droite sans priorité : 20 − 3 × 4 + 6 ÷ 2 = 17 × 4 + 6 ÷ 2 = 37.

Les × et ÷ passent avant les + et − : 3 × 4 = 12 et 6 ÷ 2 = 3, donc 20 − 12 + 3 = 11.

On croit que l'addition passe avant la soustraction : dans 20 − 12 + 3 on fait 12 + 3 = 15 d'abord, puis 20 − 15 = 5.

+ et − ont la même priorité : on va de gauche à droite. 20 − 12 = 8, puis 8 + 3 = 11.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la chaîne complète : parenthèses, puis × et ÷, enfin + et −, de gauche à droite à priorité égale.
• Calculer une expression comme 20 − 3 × 4 + 6 ÷ 2 en traitant d'abord les × et ÷ (= 11).
• Respecter l'ordre gauche-droite entre opérations de même priorité (+ et −, ou × et ÷).

Vérifie que tu as compris

1. Combien font 30 − 4 × 5 + 8 ÷ 2 ?

   Réponse 14

   On effectue d'abord les multiplications et les divisions : 4 × 5 = 20 et 8 ÷ 2 = 4. Il reste 30 − 20 + 4 = 14. Tout enchaîner de gauche à droite donnerait 69, s'arrêter à 30 − 20 donnerait 10, et diviser tout le résultat par 2 donnerait 9.

2. Combien font 7 + 24 ÷ 6 − 2 × 3 ?

   Réponse 5

   24 ÷ 6 = 4 et 2 × 3 = 6 en premier, puis 7 + 4 − 6 = 5 de gauche à droite.

3. Un panier contient 4 sachets de 6 pommes, auxquelles on ajoute 3 pommes. Quel calcul donne le nombre total de pommes ?

   Réponse 4 × 6 + 3

   Les sachets contiennent 4 × 6 = 24 pommes, auxquelles on ajoute 3 : 4 × 6 + 3 = 27. La priorité de la multiplication rend les parenthèses inutiles ; 4 × (6 + 3) = 36 reviendrait à mettre 3 pommes de plus dans chaque sachet.