La distributivité pour le calcul mental

En une phrase

Quand tu multiplies par un nombre proche de 10, 100, 1000…, tu le décomposes en une somme (ou une différence) plus simple, puis tu distribues la multiplication sur chaque terme. C'est une façon rapide de calculer de tête.

Comprendre

La distributivité, k × (a + b) = k × a + k × b, n'est pas qu'une règle d'écriture : c'est un formidable outil de calcul mental. L'idée est de remplacer un nombre « difficile » par une somme ou une différence de nombres « faciles », souvent autour d'une dizaine ou d'une centaine. Prends 7 × 102. Le nombre 102 est proche de 100, on le décompose donc en 100 + 2 : 7 × 102 = 7 × (100 + 2).

On distribue ensuite le 7 sur chaque terme : 7 × 100 + 7 × 2 = 700 + 14 = 714. C'est bien plus rapide que de poser la multiplication ! On peut aussi utiliser une différence quand le nombre est juste en dessous d'une dizaine ou d'une centaine, grâce à k × (a − b) = k × a − k × b. Par exemple 25 × 98 : ici 98 est proche de 100, on écrit 98 = 100 − 2, donc 25 × 98 = 25 × (100 − 2) = 25 × 100 − 25 × 2 = 2500 − 50 = 2450. Le secret d'un bon calcul mental, c'est de choisir la bonne décomposition : repérer la dizaine ou la centaine la plus proche, décider si l'on ajoute ou si l'on retire, puis distribuer sans oublier de multiplier CHAQUE terme.

Avec un peu d'entraînement, des produits qui semblaient compliqués se calculent en quelques secondes, sans calculatrice.

Le cours

La distributivité de la multiplication, k × (a + b) = k × a + k × b (et k × (a − b) = k × a − k × b), permet de calculer mentalement de nombreux produits. Le principe est de décomposer l'un des facteurs en une somme ou une différence de nombres simples, généralement en s'appuyant sur la dizaine ou la centaine la plus proche, puis de distribuer la multiplication. Premier cas, avec une somme : pour calculer 7 × 102, on remarque que 102 = 100 + 2. Alors 7 × 102 = 7 × (100 + 2) = 7 × 100 + 7 × 2 = 700 + 14 = 714. On a remplacé une multiplication délicate par deux multiplications très simples et une addition.

Second cas, avec une différence, utile quand le nombre est un peu en dessous d'un nombre rond : pour 25 × 98, on écrit 98 = 100 − 2, donc 25 × 98 = 25 × (100 − 2) = 25 × 100 − 25 × 2 = 2500 − 50 = 2450. Là encore, deux produits faciles et une soustraction suffisent. La réussite dépend de deux choix : bien repérer le nombre rond proche (10, 100, 1000…) et décider si l'on décompose avec un + ou un −. L'erreur classique est de ne multiplier que le premier terme et d'oublier le second, par exemple écrire 7 × (100 + 2) = 700 + 2. Il faut toujours distribuer sur CHAQUE terme.

Cette technique, très utile au quotidien, prolonge directement la distributivité vue avec de petits nombres et prépare le calcul littéral.

Les erreurs fréquentes

On ne multiplie que le premier terme : 7 × 102 = 7 × (100 + 2) = 700 + 2 = 702.

On distribue le 7 sur les DEUX termes : 7 × 100 + 7 × 2 = 700 + 14 = 714.

On décompose mal le nombre proche du rond, par exemple 98 = 90 + 8, ce qui ne simplifie pas le calcul.

On choisit la centaine la plus proche : 98 = 100 − 2, donc 25 × 98 = 25 × (100 − 2) = 2500 − 50 = 2450.

Tu maîtrises la notion si…

• Décomposer un facteur autour d'un nombre rond, avec un + ou un − (102 = 100 + 2 ; 98 = 100 − 2).
• Distribuer la multiplication sur chaque terme pour calculer de tête (7 × 102 = 714).
• Utiliser la forme avec différence : 25 × 98 = 25 × (100 − 2) = 2450.

Vérifie que tu as compris

1. En utilisant la distributivité, 7 × 102 = :

   Réponse 7 × (100 + 2) = 700 + 14 = 714

   On décompose 102 = 100 + 2 et on distribue sur chaque terme : 7 × 100 + 7 × 2 = 700 + 14 = 714.

2. En utilisant la distributivité, 25 × 98 = :

   Réponse 25 × (100 − 2) = 2500 − 50 = 2450

   98 = 100 − 2, on distribue : 25 × 100 − 25 × 2 = 2500 − 50 = 2450.

3. Pour calculer 4 × 53 de tête, quelle décomposition est correcte ?

   Réponse 4 × (50 + 3) = 200 + 12 = 212

   On décompose 53 = 50 + 3 et on distribue le 4 sur les DEUX termes : 4 × 50 + 4 × 3 = 200 + 12 = 212. Oublier de multiplier le second terme donne 203, et 4 × (60 − 7) exige aussi de multiplier le 7 (240 − 28 = 212).