La distributivité

En une phrase

Multiplier un nombre par une parenthèse, c'est multiplier ce nombre par chaque terme de la parenthèse : k × (a + b) = k × a + k × b. Ça sert à développer ou à calculer de tête.

Comprendre

Quand tu multiplies un nombre par une parenthèse qui contient une somme, tu peux distribuer la multiplication sur chaque terme : c'est la distributivité. La règle s'écrit k × (a + b) = k × a + k × b. Autrement dit, au lieu de calculer d'abord la parenthèse, tu multiplies k par a, puis k par b, et tu ajoutes les deux résultats.

Ça marche aussi avec une soustraction : k × (a − b) = k × a − k × b. Cette propriété sert à deux choses. D'abord à développer : transformer une expression avec parenthèses en une somme, par exemple 5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25. Tu peux vérifier que c'est cohérent, car 5 × (3 + 2) = 5 × 5 = 25 aussi.

Ensuite, et c'est très pratique, à calculer mentalement. Pour faire 5 × 12 de tête, tu décomposes 12 en 10 + 2 : 5 × 12 = 5 × (10 + 2) = 5 × 10 + 5 × 2 = 50 + 10 = 60. C'est plus simple que de poser la multiplication ! La distributivité est donc un outil de calcul rapide, et elle deviendra essentielle plus tard avec les lettres, pour développer des expressions comme 5 × (x + 2).

Le cours

La distributivité de la multiplication par rapport à l'addition est une propriété qui relie une multiplication et une somme. Elle s'énonce ainsi : pour tous nombres k, a et b, on a k × (a + b) = k × a + k × b. Le facteur k, placé devant la parenthèse, est distribué (réparti) sur chacun des termes de la parenthèse.

La propriété est aussi valable avec une soustraction : k × (a − b) = k × a − k × b. Passer de k × (a + b) à k × a + k × b s'appelle développer : on supprime la parenthèse en effectuant les multiplications. Exemple : 5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25 ; on retrouve bien le même résultat qu'en calculant directement la parenthèse, 5 × (3 + 2) = 5 × 5 = 25. La distributivité est surtout un outil de calcul mental efficace : pour calculer un produit difficile, on décompose l'un des facteurs en une somme de nombres simples.

Par exemple, 5 × 12 = 5 × (10 + 2) = 5 × 10 + 5 × 2 = 50 + 10 = 60. De même, 7 × 21 = 7 × (20 + 1) = 140 + 7 = 147. Bien comprise au collège avec des nombres, cette propriété servira ensuite avec des lettres pour développer des expressions du type k × (a + b), étape de base du calcul littéral.

Les erreurs fréquentes

On ne multiplie que le premier terme de la parenthèse : 5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 2 = 17.

Il faut distribuer le 5 sur les DEUX termes : 5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25. Chaque terme de la parenthèse est multiplié par 5.

Pour calculer 5 × 12 de tête, on décompose en 5 × (10 + 2) = 5 × 10 + 2 = 52.

On distribue le 5 sur 10 ET sur 2 : 5 × (10 + 2) = 5 × 10 + 5 × 2 = 50 + 10 = 60. Il ne faut pas oublier de multiplier le second terme.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b.
• Développer une expression comme 5 × (3 + 2) en multipliant k par chaque terme (= 25).
• Utiliser la distributivité pour un calcul mental, par exemple 5 × 12 = 5 × (10 + 2) = 60.

Vérifie que tu as compris

1. En utilisant la distributivité, 5 × (3 + 2) = :

   Réponse 5 × 3 + 5 × 2 = 25

   Distributivité : 5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25 (= 5 × 5).

2. En factorisant, 7 × 4 + 7 × 6 = :

   Réponse 7 × (4 + 6) = 70

   Le facteur commun 7 se met en facteur : 7 × 4 + 7 × 6 = 7 × (4 + 6) = 7 × 10 = 70.

3. Quelle expression est égale à 6 × (4 + 7) ?

   Réponse 6 × 4 + 6 × 7

   La distributivité répartit le 6 sur CHAQUE terme de la parenthèse : 6 × (4 + 7) = 6 × 4 + 6 × 7 = 24 + 42 = 66, ce qui vaut bien 6 × 11. N'en multiplier qu'un seul donnerait 31.