Propriétés conservées

L'essentiel

La symétrie centrale garde tout : les longueurs, les angles, les aires, l'alignement des points, le parallélisme et les milieux ne changent pas. La figure et son image sont superposables. La seule chose qui change, c'est leur position : l'image a tourné d'un demi-tour autour de O, si bien que le haut se retrouve en bas et la droite à gauche.

Attention : le sens dans lequel on parcourt la figure, lui, ne change pas — c'est la symétrie axiale, comme un miroir, qui le renverse.

Comprendre

La symétrie centrale est une transformation qui conserve presque tout de la figure : c'est ce qu'on appelle une isométrie (elle garde les distances). Précisément, la symétrie centrale conserve : les LONGUEURS (un segment et son image ont la même longueur) ; les ANGLES (un angle et son image ont la même mesure) ; les AIRES (une figure et son image ont la même aire) ; l'ALIGNEMENT (trois points alignés ont pour images trois points alignés) ; le PARALLÉLISME (deux droites parallèles ont pour images deux droites parallèles) ; et les MILIEUX (le milieu d'un segment a pour image le milieu du segment image). Comme toutes les longueurs et tous les angles sont conservés, une figure et son image sont SUPERPOSABLES : on pourrait poser l'une sur l'autre en les faisant coïncider.

La seule chose que la symétrie centrale modifie, c'est la POSITION de la figure : l'image a tourné d'un demi-tour autour du centre (haut/bas et gauche/droite sont échangés autour de O). Le sens de parcours de la figure, lui, est conservé : si on lit ABC dans le sens des aiguilles d'une montre, on lit A'B'C' dans le même sens — c'est la symétrie axiale, elle, qui renverse ce sens, comme un miroir. Il y a aussi une propriété caractéristique de la symétrie centrale, plus forte que le simple parallélisme conservé : elle transforme toute droite en une droite qui lui est PARALLÈLE.

Ces propriétés sont très utiles pour justifier des égalités de longueurs ou d'angles, ou pour démontrer que deux droites sont parallèles.

Le cours

La symétrie centrale de centre O est une isométrie : elle conserve les distances, et plus généralement de nombreuses propriétés géométriques. Elle conserve les longueurs : un segment [AB] et son image [A'B'] ont la même longueur (A'B' = AB). Elle conserve les angles : un angle et son image ont la même mesure.

Elle conserve les aires : une figure et son image ont la même aire. Elle conserve l'alignement : si trois points sont alignés, leurs images le sont aussi. Elle conserve le parallélisme : deux droites parallèles ont pour images deux droites parallèles.

Elle conserve les milieux : le milieu d'un segment a pour image le milieu du segment image. Puisque les longueurs et les angles sont conservés, une figure et son image par symétrie centrale sont superposables : elles ont exactement la même forme et les mêmes dimensions. La seule différence est leur position : l'image a tourné d'un demi-tour par rapport à la figure de départ (les positions haut/bas et gauche/droite sont échangées autour du centre O).

Le sens de parcours de la figure est, lui aussi, conservé : c'est la symétrie axiale, et non la symétrie centrale, qui le renverse. Enfin, la symétrie centrale possède une propriété caractéristique : elle transforme toute droite en une droite qui lui est parallèle. On utilise ces propriétés pour justifier des égalités de longueurs ou d'angles, ou pour prouver que deux droites sont parallèles.

Les erreurs fréquentes

La symétrie centrale modifie les longueurs ou les aires de la figure (par exemple elle l'agrandit ou la réduit).

La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles ET les aires : la figure et son image sont superposables. Seule leur position change : l'image a tourné d'un demi-tour autour de O.

Comme l'image est « retournée », les angles de l'image sont différents de ceux de la figure de départ.

Les angles sont conservés : ils ont la même mesure dans la figure et dans son image. Le demi-tour ne change que la position de la figure, pas la taille des angles ni des longueurs.

Tu maîtrises la notion si…

• Citer les grandeurs et propriétés conservées par la symétrie centrale : longueurs, angles, aires, alignement, parallélisme, milieux.
• Justifier qu'une figure et son image par symétrie centrale sont superposables, et que seule leur position change (demi-tour autour de O).
• Utiliser le fait que la symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle.

Vérifie que tu as compris

1. La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles et les aires. Entre une figure et son image, ce qui change est :

   Réponse sa position (demi-tour autour de O)

   La figure et son image sont superposables : rien n'est déformé, seule la position change — l'image a tourné d'un demi-tour autour de O. Le sens dans lequel on parcourt la figure, lui, est conservé : c'est la symétrie axiale qui le renverse.

2. Un triangle a une aire de 12 cm². L'aire de son image par une symétrie centrale vaut :

   Réponse 12 cm²

   La symétrie centrale conserve les aires : l'aire de l'image est égale à celle de la figure de départ, soit 12 cm².

3. Un angle du triangle ABC mesure 47°. Combien mesure l'angle correspondant du triangle image A'B'C' ?

   Réponse 47°

   La symétrie centrale conserve les mesures d'angles : l'angle image mesure lui aussi 47°. 133° serait son supplément (180 − 47) et 94° son double : ni l'un ni l'autre n'intervient ici.