Le centre de symétrie d'une figure

En une phrase

Une figure a un centre de symétrie O si, quand tu la fais tourner d'un demi-tour autour de O, tu retrouves exactement la même figure, à la même place. Le parallélogramme a un centre de symétrie (le point où se croisent ses diagonales), le cercle aussi (son centre) ; mais un triangle quelconque n'en a pas.

Comprendre

Une figure possède un centre de symétrie O lorsqu'elle est globalement invariante par la symétrie centrale de centre O : si l'on applique le demi-tour autour de O à tous ses points, on retrouve la même figure, à la même place. Chaque point de la figure a alors son image (par ce demi-tour) qui appartient encore à la figure. Attention : les points ne restent pas fixes individuellement (seul O l'est), c'est la figure ENTIÈRE qui se superpose à elle-même.

Plusieurs figures usuelles ont un centre de symétrie : le parallélogramme, dont le centre est le point d'intersection de ses diagonales ; le cercle, dont le centre de symétrie est son centre ; le rectangle et le losange, qui sont des parallélogrammes particuliers (centre = intersection des diagonales) ; le carré aussi. En revanche, un triangle quelconque n'a AUCUN centre de symétrie : aucun point ne permet de retrouver le triangle par un demi-tour. Il ne faut pas confondre le centre de symétrie avec l'axe de symétrie : le centre de symétrie est un POINT et la transformation associée est un demi-tour (symétrie centrale) ; l'axe de symétrie est une DROITE et la transformation associée est un pliage-miroir (symétrie axiale).

Une même figure peut d'ailleurs avoir l'un, l'autre, les deux, ou aucun : un parallélogramme quelconque a un centre de symétrie mais pas d'axe ; un triangle isocèle a un axe mais pas de centre.

Le cours

Une figure admet un centre de symétrie O lorsque son image par la symétrie centrale de centre O est elle-même. Autrement dit, un demi-tour autour de O laisse la figure globalement invariante : elle se superpose exactement à elle-même. On dit alors que O est le centre de symétrie de la figure.

Cette propriété concerne la figure prise dans son ensemble : chaque point de la figure a pour image (par le demi-tour de centre O) un point qui appartient encore à la figure, mais un point donné n'est en général pas fixe — seul le centre O l'est. Figures usuelles ayant un centre de symétrie : le parallélogramme, dont le centre de symétrie est le point d'intersection de ses diagonales ; le cercle, dont le centre de symétrie est son centre ; le rectangle et le losange, qui sont des parallélogrammes particuliers (centre = intersection des diagonales) ; le carré. Un triangle quelconque, lui, n'a pas de centre de symétrie.

Il ne faut pas confondre centre de symétrie et axe de symétrie : le centre de symétrie est un point, et la transformation associée est un demi-tour (symétrie centrale) ; l'axe de symétrie est une droite, et la transformation associée est une symétrie axiale (un pliage le long de l'axe, comme un miroir). Une figure peut posséder un centre, un ou plusieurs axes, les deux à la fois, ou aucun. Pour vérifier qu'un point O est centre de symétrie d'une figure, on contrôle que l'image de la figure par le demi-tour de centre O coïncide avec la figure de départ.

Les erreurs fréquentes

On confond le centre de symétrie (un point) avec un axe de symétrie (une droite).

Le centre de symétrie est un point autour duquel on fait un demi-tour (symétrie centrale) ; l'axe de symétrie est une droite le long de laquelle on plie (symétrie axiale). Ce sont deux notions différentes.

On croit qu'un triangle quelconque a un centre de symétrie, par exemple son centre de gravité.

Un triangle quelconque n'a aucun centre de symétrie : par un demi-tour autour de n'importe quel point, il ne se superpose jamais à lui-même. Le centre de gravité n'est pas un centre de symétrie.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître qu'une figure admet un centre de symétrie O lorsque son image par le demi-tour de centre O est elle-même.
• Citer le centre de symétrie de figures usuelles : parallélogramme (intersection des diagonales), cercle (son centre), rectangle, losange, carré.
• Distinguer un centre de symétrie (un point, demi-tour) d'un axe de symétrie (une droite, miroir), et savoir qu'un triangle quelconque n'a pas de centre de symétrie.

Vérifie que tu as compris

1. Le centre de symétrie d'un parallélogramme est :

   Réponse le point d'intersection de ses diagonales

   Un parallélogramme est invariant par le demi-tour autour du point où se croisent ses diagonales : c'est son centre de symétrie.

2. Quelle figure n'a PAS de centre de symétrie ?

   Réponse un triangle quelconque

   Le cercle, le rectangle et le losange ont un centre de symétrie ; un triangle quelconque, lui, n'en a aucun : aucun demi-tour ne le laisse invariant.

3. Quel est le centre de symétrie du segment [AB] ?

   Réponse le milieu de [AB]

   Le demi-tour autour du milieu de [AB] échange A et B et laisse le segment exactement à sa place : ce milieu est bien son centre de symétrie. Un segment en possède donc un, contrairement à un triangle quelconque.