Image d'un segment et d'une droite
Que devient un segment quand on le retourne autour d'un point ?
En une phrase
Pour trouver l'image d'un segment [AB] par la symétrie de centre O, tu prends l'image A' de A et l'image B' de B : le segment [A'B'] a exactement la même longueur que [AB] et il lui est parallèle. De même, l'image d'une droite est une droite parallèle à la droite de départ.
L'idée à retenir
Par une symétrie de centre O, l'image du segment [AB] est le segment [A'B'] : même longueur (A'B' = AB) et parallèle à [AB]. L'image d'une droite est une droite parallèle.
Comprendre
La symétrie centrale ne transforme pas les points au hasard : elle envoie une droite sur une droite et un segment sur un segment, en conservant les longueurs. Pour construire l'image d'un segment [AB] par la symétrie de centre O, il suffit de construire séparément l'image A' de A et l'image B' de B (pour chacun, O est le milieu de [AA'] et de [BB']), puis de tracer le segment [A'B']. Ce segment image a deux propriétés remarquables : il a la MÊME longueur que [AB] (A'B' = AB, car la symétrie centrale conserve les longueurs) et il est PARALLÈLE à [AB].
Cette dernière propriété est caractéristique de la symétrie centrale : un segment et son image sont toujours parallèles. De même, l'image d'une droite (d) par la symétrie de centre O est une droite (d') parallèle à (d). Cas particulier : si la droite (d) passe par le centre O, alors son image (d') est la droite (d) elle-même (elle est globalement invariante par le demi-tour de centre O).
L'essentiel à retenir : image d'un segment = segment de même longueur et parallèle ; image d'une droite = droite parallèle.
Le cours
Par une symétrie de centre O, l'image d'un segment [AB] est le segment [A'B'], où A' est l'image de A et B' l'image de B. Pour le construire, on place d'abord A' tel que O soit le milieu de [AA'], puis B' tel que O soit le milieu de [BB'], et on relie A' et B'. Le segment image [A'B'] a la même longueur que le segment de départ : A'B' = AB. En effet, la symétrie centrale conserve les longueurs.
De plus, [A'B'] est parallèle à [AB] : par une symétrie centrale, un segment et son image sont toujours parallèles. De la même façon, l'image d'une droite (d) par la symétrie de centre O est une droite (d'), et cette droite (d') est parallèle à (d). Cas particulier : si la droite (d) passe par le centre O, son image est elle-même — la droite est globalement invariante par le demi-tour de centre O. Ces propriétés (l'image d'une droite est une droite parallèle, l'image d'un segment est un segment de même longueur et parallèle) permettent de construire rapidement l'image d'une figure : il suffit de connaître l'image de quelques points clés, puis de relier.
Vois cette notion fonctionner : la scène animée, plan par plan →
Les erreurs fréquentes
- L'image d'un segment [AB] par une symétrie centrale a une longueur différente de [AB].
- La symétrie centrale conserve les longueurs : le segment image [A'B'] a exactement la même longueur que [AB] (A'B' = AB).
- Le segment image [A'B'] est perpendiculaire au segment de départ [AB].
- Par une symétrie centrale, un segment et son image sont PARALLÈLES, jamais perpendiculaires : [A'B'] est parallèle à [AB].
Tu maîtrises la notion si…
- Construire l'image d'un segment [AB] par la symétrie de centre O en construisant les images A' et B' de ses extrémités, puis en reliant.
- Savoir que le segment image [A'B'] a la même longueur que [AB] (A'B' = AB) et lui est parallèle.
- Savoir que l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle.
Vérifie que tu as compris
Par une symétrie de centre O, l'image du segment [AB] est un segment [A'B'] qui est :
Réponse de même longueur que [AB] et parallèle à [AB]
La symétrie centrale conserve les longueurs (A'B' = AB) et un segment est toujours parallèle à son image.
Une droite (d) passe par le centre O. Son image (d') par la symétrie de centre O est :
Réponse la droite (d) elle-même
Une droite passant par le centre O est globalement invariante par le demi-tour : son image est elle-même.
I est le milieu de [AB]. Par une symétrie de centre O, quelle est l'image de I ?
Réponse le milieu de [A'B']
La symétrie centrale conserve les milieux : l'image du milieu de [AB] est le milieu du segment image [A'B']. Cela évite de mesurer quoi que ce soit pour le placer.
S'entraîner sur cette notion
La scène s'anime pas à pas, la mascotte t'explique, puis tu t'entraînes. Gratuit pour commencer.
Ouvrir cette scène dans Azulma →Les quatre étapes pour maîtriser cette notion
Le segment image a la même longueur ET est parallèle.
La symétrie centrale conserve les longueurs.
A' image de A, B' image de B : O milieu de [AA'] et [BB'].
On construit l'image de chaque extrémité, puis on relie.
A'B' = 5 cm (même longueur) et parallèle à [AB].
Les longueurs sont conservées.
Une droite passant par O a pour image elle-même.
Ses points ont leur image sur la même droite.