Les côtés du triangle rectangle

En une phrase

Dans un triangle rectangle, le plus grand côté, celui face à l'angle droit, c'est l'hypoténuse. Ensuite, tu choisis un angle aigu : le côté qui le touche (sans être l'hypoténuse) est l'adjacent, et celui d'en face est l'opposé.

Comprendre

Un triangle rectangle a un angle droit, et avant de faire de la trigonométrie, tu dois savoir nommer ses trois côtés. Le premier est facile : l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, c'est-à-dire celui qui ne touche pas le coin du 90°. C'est aussi toujours le plus grand côté du triangle.

Son nom ne change jamais, peu importe l'angle que tu regardes. Les deux autres côtés, eux, dépendent de l'angle aigu que tu choisis. Fixe un angle aigu (par exemple l'angle â).

Le côté adjacent à cet angle est celui qui le touche, qui forme un de ses bords, sans être l'hypoténuse : « adjacent » veut dire « à côté de ». Le côté opposé à cet angle est celui qui lui fait face, qui ne le touche pas du tout. Attention : si tu changes d'angle aigu, l'opposé et l'adjacent s'échangent !

Le côté qui était adjacent pour le premier angle devient opposé pour l'autre, et inversement. Seule l'hypoténuse garde sa place. Pour ne pas te tromper, repère d'abord l'angle droit pour placer l'hypoténuse, puis place-toi « dans » l'angle aigu choisi : ce que tu touches est l'adjacent, ce qui est en face est l'opposé.

Cette étape de repérage est la clé : si tu nommes bien les côtés, la trigonométrie devient simple.

Le cours

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (un angle de 90°). Pour utiliser la trigonométrie, il faut d'abord savoir nommer ses trois côtés. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est le seul côté qui ne touche pas le sommet de l'angle droit, et c'est toujours le plus grand côté du triangle rectangle.

Son nom ne dépend d'aucun choix : l'hypoténuse reste l'hypoténuse quel que soit l'angle considéré. Les deux autres côtés se nomment par rapport à un angle aigu choisi (un triangle rectangle a deux angles aigus). Pour un angle aigu donné : le côté adjacent est le côté qui touche cet angle (qui forme l'un de ses bords) sans être l'hypoténuse ; le côté opposé est le côté qui fait face à cet angle, c'est-à-dire celui qui ne le touche pas.

Point essentiel : adjacent et opposé sont relatifs à l'angle. Si l'on change d'angle aigu, le côté adjacent et le côté opposé sont échangés ; seule l'hypoténuse ne change pas. Méthode de repérage : repère d'abord l'angle droit pour identifier l'hypoténuse (le côté d'en face) ; choisis ensuite l'angle aigu, et regarde quel côté le touche (adjacent) et quel côté lui fait face (opposé).

Bien nommer ces trois côtés est indispensable, car les rapports trigonométriques (cosinus, sinus, tangente) sont définis à partir de l'hypoténuse, de l'adjacent et de l'opposé.

Les erreurs fréquentes

L'hypoténuse est n'importe quel côté, par exemple le côté horizontal du bas du triangle.

L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit, c'est-à-dire celui qui ne touche pas le sommet du 90° ; c'est aussi le plus grand côté du triangle rectangle.

Le côté opposé et le côté adjacent sont fixes, ils ne dépendent pas de l'angle choisi.

L'opposé et l'adjacent sont définis par rapport à un angle aigu précis ; si tu changes d'angle aigu, ces deux côtés s'échangent, seule l'hypoténuse reste la même.

Tu maîtrises la notion si…

• Identifier l'hypoténuse comme le côté opposé à l'angle droit, le plus grand côté du triangle rectangle.
• Pour un angle aigu donné, repérer le côté adjacent (qui touche l'angle, sans être l'hypoténuse) et le côté opposé (qui lui fait face).
• Comprendre que l'adjacent et l'opposé dépendent de l'angle choisi et s'échangent quand on change d'angle aigu.

Vérifie que tu as compris

1. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est :

   Réponse le côté opposé à l'angle droit

   L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est le plus grand côté du triangle rectangle.

2. Le côté adjacent à un angle aigu d'un triangle rectangle est :

   Réponse le côté de l'angle droit qui touche cet angle

   L'adjacent est le côté de l'angle droit qui borde l'angle considéré (ce n'est jamais l'hypoténuse).

3. Le triangle RST est rectangle en S. Quel côté est opposé à l'angle en R ?

   Réponse [ST]

   Le côté opposé à un angle est celui qui ne touche pas ce sommet : depuis R, c'est [ST]. Le côté [RS] touche R sans être l'hypoténuse : c'est l'adjacent. Quant à [RT], il est opposé à l'angle droit (en S) : c'est l'hypoténuse.