Cosinus, sinus, tangente

En une phrase

Pour un angle aigu d'un triangle rectangle, tu calcules trois rapports de longueurs. Retiens le code SOH-CAH-TOA : SOH → sinus = Opposé/Hypoténuse, CAH → cosinus = Adjacent/Hypoténuse, TOA → tangente = Opposé/Adjacent.

Comprendre

Dans un triangle rectangle, à chaque angle aigu on associe trois nombres appelés cosinus, sinus et tangente. Ce sont des rapports, c'est-à-dire des divisions entre deux longueurs de côtés. D'abord, tu dois savoir nommer les côtés par rapport à l'angle choisi : l'hypoténuse (face à l'angle droit), le côté adjacent (qui touche l'angle) et le côté opposé (qui lui fait face).

Ensuite, les trois rapports sont : le cosinus de l'angle = côté adjacent divisé par hypoténuse ; le sinus de l'angle = côté opposé divisé par hypoténuse ; la tangente de l'angle = côté opposé divisé par côté adjacent. Pour ne jamais te tromper, utilise le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA, à lire en trois blocs. SOH : Sinus = Opposé sur Hypoténuse.

CAH : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse. TOA : Tangente = Opposé sur Adjacent. Dans chaque bloc, la première lettre est le rapport (S, C ou T), la deuxième est le côté du haut (numérateur) et la troisième le côté du bas (dénominateur).

Remarque importante : le cosinus et le sinus se calculent avec l'hypoténuse, donc ils sont toujours compris entre 0 et 1 (un côté plus court divisé par le plus grand). La tangente, elle, ne fait pas intervenir l'hypoténuse. Ces trois rapports relient les angles et les longueurs : ils servent ensuite à calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle.

Le cours

À chaque angle aigu d'un triangle rectangle, on associe trois rapports trigonométriques : le cosinus, le sinus et la tangente. Ce sont des quotients de deux longueurs de côtés, définis à partir de la position des côtés par rapport à l'angle considéré : l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit), le côté adjacent (qui touche l'angle aigu) et le côté opposé (qui lui fait face). Les trois définitions sont : cosinus de l'angle = côté adjacent / hypoténuse ; sinus de l'angle = côté opposé / hypoténuse ; tangente de l'angle = côté opposé / côté adjacent.

Pour mémoriser ces formules sans erreur, on utilise le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA, formé de trois blocs de trois lettres : SOH signifie Sinus = Opposé / Hypoténuse ; CAH signifie Cosinus = Adjacent / Hypoténuse ; TOA signifie Tangente = Opposé / Adjacent. Dans chaque bloc, la première lettre désigne le rapport, la deuxième le numérateur (côté du haut) et la troisième le dénominateur (côté du bas). Le cosinus et le sinus ont l'hypoténuse au dénominateur : comme l'hypoténuse est le plus grand côté, ces deux rapports sont toujours compris entre 0 et 1. La tangente n'utilise pas l'hypoténuse.

Ces rapports ne dépendent que de la mesure de l'angle (pas de la taille du triangle), ce qui en fait un lien direct entre angles et longueurs. Ils sont à la base des calculs de longueurs et d'angles dans un triangle rectangle.

Les erreurs fréquentes

On confond cosinus et sinus, par exemple en écrivant cosinus = opposé/hypoténuse.

Avec SOH-CAH-TOA : CAH donne cosinus = Adjacent/Hypoténuse, et SOH donne sinus = Opposé/Hypoténuse. Le cosinus utilise l'adjacent, le sinus utilise l'opposé.

Dans la tangente, on met l'hypoténuse, par exemple tangente = opposé/hypoténuse.

TOA donne tangente = Opposé/Adjacent : la tangente ne fait pas intervenir l'hypoténuse, mais seulement le côté opposé et le côté adjacent.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer les trois rapports : cosinus = adjacent/hypoténuse, sinus = opposé/hypoténuse, tangente = opposé/adjacent.
• Utiliser le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA pour retrouver chaque rapport sans le confondre.
• Relier chaque rapport aux deux côtés du triangle rectangle qu'il met en jeu (et savoir que la tangente n'utilise pas l'hypoténuse).

Vérifie que tu as compris

1. Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle vaut :

   Réponse adjacent / hypoténuse

   CAH : Cosinus = côté Adjacent / Hypoténuse (mémo SOH-CAH-TOA).

2. Pourquoi le cosinus d'un angle aigu est-il toujours compris entre 0 et 1 ?

   Réponse car l'adjacent est plus court que l'hypoténuse

   Le cosinus est le quotient adjacent ÷ hypoténuse. Or l'hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle : le numérateur est donc toujours plus petit que le dénominateur, et le quotient reste entre 0 et 1. Un cosinus supérieur à 1 signale forcément une erreur de calcul.