Calculer une longueur (trigonométrie)

En une phrase

Tu connais un angle aigu et une longueur d'un triangle rectangle, et tu cherches une autre longueur. Tu repères les côtés en jeu (adjacent, opposé, hypoténuse), tu choisis le rapport qui les relie avec SOH-CAH-TOA, tu écris l'égalité, puis tu isoles la longueur cherchée.

Comprendre

Pour calculer une longueur avec la trigonométrie, tu pars d'un triangle rectangle dont tu connais un angle aigu et une longueur, et tu cherches une autre longueur. La première étape est de TE placer par rapport à l'angle connu : quel est le côté adjacent (celui qui touche l'angle, à côté de l'angle droit), quel est le côté opposé (en face de l'angle), et quelle est l'hypoténuse (en face de l'angle droit, le plus grand côté). Ensuite tu repères QUELS deux côtés sont en jeu : le côté que tu connais et le côté que tu cherches.

C'est ce couple de côtés qui te dit quel rapport choisir avec SOH-CAH-TOA : cosinus relie adjacent et hypoténuse, sinus relie opposé et hypoténuse, tangente relie opposé et adjacent. Tu écris alors l'égalité correspondante, par exemple cos(angle) = adjacent / hypoténuse. Enfin, tu isoles la longueur cherchée comme dans une équation.

Si tu cherches le côté adjacent et que tu connais l'hypoténuse, tu obtiens adjacent = hypoténuse × cos(angle) ; si tu cherches l'hypoténuse en connaissant l'adjacent, alors hypoténuse = adjacent / cos(angle). La calculatrice te donne ensuite la valeur de cos(angle) (calculatrice en mode degrés), et il ne reste qu'à effectuer le calcul. Ce qui compte, c'est de toujours choisir le rapport qui relie EXACTEMENT le côté connu et le côté cherché, sans faire intervenir un troisième côté inconnu.

Le cours

La trigonométrie permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle dès qu'on connaît un angle aigu et une longueur. La méthode se déroule en plusieurs étapes claires. Étape 1 : repérer, par rapport à l'angle aigu connu, le côté adjacent (celui qui borde l'angle, à côté de l'angle droit), le côté opposé (celui qui est en face de l'angle) et l'hypoténuse (le côté en face de l'angle droit, le plus long).

Étape 2 : identifier le côté connu et le côté cherché ; ces deux côtés déterminent le rapport à utiliser. Étape 3 : choisir le rapport avec SOH-CAH-TOA : cosinus = adjacent/hypoténuse, sinus = opposé/hypoténuse, tangente = opposé/adjacent. On prend le rapport qui relie justement le côté connu et le côté cherché, jamais un troisième côté inconnu.

Étape 4 : écrire l'égalité, par exemple cos(angle) = adjacent/hypoténuse. Étape 5 : isoler la longueur cherchée comme dans une équation, en utilisant un produit en croix. Par exemple, si on cherche l'adjacent en connaissant l'hypoténuse : adjacent = hypoténuse × cos(angle).

Si on cherche l'hypoténuse en connaissant l'adjacent : hypoténuse = adjacent / cos(angle). Étape 6 : utiliser la calculatrice (en mode degrés) pour obtenir la valeur du cosinus, du sinus ou de la tangente de l'angle, puis effectuer le calcul. On arrondit en général le résultat et on n'oublie pas l'unité de longueur.

Le point essentiel est le choix du rapport : il dépend uniquement des deux côtés en jeu (le connu et le cherché) par rapport à l'angle.

Les erreurs fréquentes

Choisir le rapport au hasard, par exemple prendre le cosinus alors que l'angle, le côté connu et le côté cherché font intervenir l'opposé et l'hypoténuse.

Le rapport se choisit selon les deux côtés en jeu par rapport à l'angle : adjacent + hypoténuse → cosinus, opposé + hypoténuse → sinus, opposé + adjacent → tangente. On regarde toujours le côté connu et le côté cherché avant de choisir.

Oublier d'isoler la longueur cherchée : écrire cos(angle) = adjacent/hypoténuse puis donner directement adjacent = cos(angle).

Il faut résoudre l'égalité comme une équation. À partir de cos(angle) = adjacent/hypoténuse, on a adjacent = hypoténuse × cos(angle) ; et si l'inconnue est au dénominateur, hypoténuse = adjacent / cos(angle).

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer, par rapport à l'angle connu, le côté adjacent, le côté opposé et l'hypoténuse, et identifier le côté connu et le côté cherché.
• Choisir le bon rapport (cosinus, sinus ou tangente) qui relie le côté connu et le côté cherché, puis écrire l'égalité correspondante.
• Isoler la longueur cherchée et calculer sa valeur à la calculatrice (en degrés), avec l'unité.

Vérifie que tu as compris

1. On connaît l'hypoténuse et on cherche le côté adjacent à un angle : on utilise…

   Réponse le cosinus

   Adjacent et hypoténuse sont reliés par le cosinus : cos(angle) = adjacent / hypoténuse.

2. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 10 cm et un angle aigu mesure 30°. Le côté opposé à cet angle vaut (sin 30° = 0,5) :

   Réponse 5 cm

   opposé = hypoténuse × sin(angle) = 10 × 0,5 = 5 cm.

3. Un avion décolle en suivant une trajectoire rectiligne faisant un angle de 15° avec le sol. Après 900 m parcourus, à quelle altitude vole-t-il (sin 15° ≈ 0,26) ?

   Réponse 234 m

   La trajectoire est l'hypoténuse et l'altitude le côté opposé à l'angle de 15° : on utilise le sinus. Altitude = 900 × sin 15° ≈ 900 × 0,26 = 234 m. La valeur 869 m correspond au cosinus (la distance parcourue au sol) et 450 m à une moitié arbitraire.