Le volume du cône

En une phrase

Un cône, c'est comme une pyramide, mais sa base est un disque (un rond). Comme l'aire d'un disque est π × r², le volume du cône est V = (1/3) × π × r² × hauteur.

Comprendre

Un cône de révolution ressemble à un chapeau pointu ou à un cornet de glace : il a une base en forme de disque et un sommet pointu au-dessus. L'idée à retenir, c'est qu'un cône n'est rien d'autre qu'une pyramide dont la base est un disque au lieu d'un polygone. On peut donc réutiliser la formule de la pyramide, V = (1/3) × aire de la base × hauteur, en remplaçant l'aire de la base par celle d'un disque.

Or l'aire d'un disque de rayon r vaut π × r². En remplaçant, on obtient la formule du cône : V = (1/3) × π × r² × hauteur. Comme pour la pyramide, on retrouve le facteur 1/3, et la hauteur est bien la distance droite entre le sommet et la base (pas la longueur du côté incliné, qu'on appelle la génératrice).

Pour calculer, tu procèdes en étapes : tu calcules d'abord l'aire du disque de base avec π × r² (attention, c'est le rayon au carré, pas le diamètre), tu multiplies par la hauteur, puis tu divises par 3. Prenons un cône de rayon r = 3 cm et de hauteur 10 cm : l'aire de la base vaut π × 3² = π × 9 = 9π cm², donc V = (1/3) × 9π × 10 = 30π cm³, ce qui fait environ 94,2 cm³. On peut laisser le résultat en valeur exacte (30π) ou en donner une valeur approchée (≈ 94,2 cm³).

Le cours

Un cône de révolution est un solide formé d'une base en forme de disque et d'un sommet relié au bord de ce disque. C'est en réalité une pyramide particulière : sa base est un disque au lieu d'être un polygone. On peut donc partir de la formule du volume d'une pyramide, V = (1/3) × aire de la base × hauteur, et y remplacer l'aire de la base par l'aire d'un disque de rayon r, qui vaut π × r².

On obtient alors la formule du volume d'un cône : V = (1/3) × π × r² × hauteur. On y retrouve le même facteur 1/3 que pour la pyramide, et la hauteur désigne la distance entre le sommet et le plan de la base, mesurée perpendiculairement ; elle ne doit pas être confondue avec la génératrice, le côté incliné qui relie le sommet au bord du disque. Le calcul se fait en trois temps : (1) calculer l'aire du disque de base avec π × r² (le rayon est élevé au carré ; ne pas utiliser le diamètre) ; (2) multiplier par la hauteur ; (3) diviser par 3. Exemple : pour un cône de rayon r = 3 cm et de hauteur 10 cm, l'aire de la base vaut π × 3² = 9π cm², puis V = (1/3) × 9π × 10 = 30π cm³ ≈ 94,2 cm³.

Le résultat peut être donné en valeur exacte (avec π) ou en valeur approchée, et s'exprime en unité de volume (cm³, m³…).

Les erreurs fréquentes

On utilise le diamètre à la place du rayon dans π × r², par exemple π × 6² pour un disque de rayon 3.

La formule de l'aire du disque utilise le rayon : π × r². Pour r = 3, on calcule π × 3² = 9π ; il ne faut pas utiliser le diamètre (6) à la place du rayon.

On oublie le facteur 1/3 et on calcule V = π × r² × hauteur (le volume d'un cylindre).

Un cône est une pyramide à base disque : il faut garder le 1/3. La formule est V = (1/3) × π × r² × hauteur ; sans le 1/3, on obtiendrait le volume d'un cylindre, trois fois trop grand.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que le cône est une pyramide à base disque et donner la formule V = (1/3) × π × r² × hauteur.
• Calculer l'aire du disque de base avec π × r² en utilisant le rayon (et non le diamètre).
• Calculer le volume d'un cône à partir de son rayon et de sa hauteur, en valeur exacte (30π) et approchée (≈ 94,2).

Vérifie que tu as compris

1. Le volume d'un cône de rayon r et de hauteur h est :

   Réponse (1/3) × π × r² × h

   Un cône est une pyramide à base disque : V = (1/3) × aire de la base × h = (1/3) × π × r² × h.

2. Un cône a un rayon de 3 cm et une hauteur de 10 cm. Son volume est :

   Réponse 30π cm³

   V = (1/3) × π × r² × h = (1/3) × π × 9 × 10 = (1/3) × 90π = 30π cm³.

3. Un entonnoir conique mesure 8 cm de diamètre à l'ouverture et 9 cm de profondeur. Son volume exact est :

   Réponse 48π cm³

   Le rayon vaut la moitié du diamètre : r = 8 / 2 = 4 cm. V = (1/3) × π × r² × h = (1/3) × π × 16 × 9 = (1/3) × 144π = 48π cm³. Oublier le tiers donne 144π ; garder 8 comme rayon donne 192π.