Le volume de la pyramide

En une phrase

Pour trouver le volume d'une pyramide, tu prends l'aire de sa base, tu la multiplies par la hauteur, puis tu divises le tout par 3. En formule : V = (1/3) × aire de la base × hauteur.

Comprendre

Une pyramide a une base (un polygone : carré, triangle, rectangle…) et un sommet pointu situé au-dessus. Pour calculer son volume, tu n'as besoin que de deux choses : l'aire de la base et la hauteur. La hauteur, c'est la distance entre le sommet et la base, mesurée bien droite (perpendiculairement à la base) ; ce n'est pas la longueur d'une arête inclinée.

La formule est V = (1/3) × aire de la base × hauteur. Le point important à comprendre, c'est ce « un tiers » : une pyramide remplit exactement le tiers d'un prisme qui aurait la même base et la même hauteur. Autrement dit, il faudrait trois pyramides identiques pour remplir ce prisme.

C'est pour cela qu'on divise par 3. Pour appliquer la formule, tu calcules d'abord l'aire de la base avec la formule qui correspond à sa forme (côté × côté pour un carré, par exemple), puis tu multiplies par la hauteur, et enfin tu divises par 3. Prenons une pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 10 cm : l'aire de la base est 6 × 6 = 36 cm², donc V = (1/3) × 36 × 10 = (1/3) × 360 = 120 cm³. Pense bien à l'unité : un volume s'exprime en unités au cube (cm³, m³…).

Le cours

Une pyramide est un solide formé d'une base polygonale (carré, rectangle, triangle…) et d'un sommet relié à tous les côtés de cette base par des faces triangulaires. Pour calculer le volume d'une pyramide, on utilise la formule : V = (1/3) × aire de la base × hauteur. La hauteur de la pyramide est la distance entre le sommet et le plan de la base, mesurée perpendiculairement à la base : il ne faut pas la confondre avec la longueur d'une arête latérale, qui est inclinée et donc plus grande.

Le facteur 1/3 vient d'une propriété géométrique : une pyramide a un volume égal au tiers de celui du prisme (ou du cube) ayant la même base et la même hauteur ; il faut trois pyramides identiques pour remplir ce prisme. La démarche de calcul comporte trois étapes : (1) calculer l'aire de la base à l'aide de la formule adaptée à sa forme (par exemple côté × côté pour un carré) ; (2) multiplier cette aire par la hauteur ; (3) diviser le résultat par 3. Exemple : pour une pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 10 cm, l'aire de la base vaut 6 × 6 = 36 cm², puis V = (1/3) × 36 × 10 = 120 cm³. Le volume s'exprime toujours dans une unité de volume (cm³, m³…), c'est-à-dire l'unité de longueur élevée au cube.

Les erreurs fréquentes

On oublie de diviser par 3 et on calcule V = aire de la base × hauteur (comme pour un prisme).

La pyramide n'occupe que le tiers du prisme de même base et même hauteur : il faut bien multiplier par 1/3, donc V = (1/3) × aire de la base × hauteur.

On prend la longueur d'une arête inclinée comme hauteur de la pyramide.

La hauteur est la distance entre le sommet et la base mesurée perpendiculairement (bien droite) ; une arête latérale est inclinée et donc plus longue, ce n'est pas la hauteur.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la formule du volume d'une pyramide : V = (1/3) × aire de la base × hauteur.
• Expliquer le facteur 1/3 : une pyramide remplit le tiers du prisme de même base et même hauteur.
• Calculer le volume d'une pyramide à base carrée en calculant d'abord l'aire de la base, puis en multipliant par la hauteur et en divisant par 3.

Vérifie que tu as compris

1. Le volume d'une pyramide se calcule par :

   Réponse (1/3) × aire de la base × hauteur

   Une pyramide a un volume égal au tiers de celui du prisme de même base et même hauteur : V = (1/3) × base × h.

2. Une pyramide a une base d'aire 12 cm² et une hauteur de 5 cm. Son volume est :

   Réponse 20 cm³

   V = (1/3) × base × h = (1/3) × 12 × 5 = 60/3 = 20 cm³.

3. Pour calculer le volume d'une pyramide, quelle hauteur doit-on utiliser ?

   Réponse la distance du sommet au plan de la base

   La hauteur d'une pyramide est le segment issu du sommet et perpendiculaire au plan de la base : c'est cette longueur qui entre dans V = (1/3) × aire de la base × h. L'arête latérale et l'apothème sont plus longues et donneraient un volume trop grand.