Le volume de la boule

En une phrase

Pour trouver le volume d'une boule, tu utilises la formule V = (4/3) × π × r³. Attention : le rayon est au cube (r³ = r × r × r), pas au carré.

Comprendre

Une boule est le solide plein limité par une sphère (sa surface) : pense à une balle, une bille, une planète. Pour calculer le volume d'une boule, il n'y a qu'une donnée à connaître : son rayon r, la distance entre le centre et le bord. La formule est V = (4/3) × π × r³.

Le point le plus important, et l'erreur la plus fréquente, concerne la puissance : ici le rayon est élevé au cube, c'est-à-dire r³ = r × r × r. C'est logique, car un volume met en jeu les trois dimensions de l'espace. Il ne faut surtout pas confondre cette formule avec celle de l'aire de la sphère, qui est 4 × π × r² (avec un r au carré) : le volume utilise r³ et le coefficient 4/3, tandis que l'aire utilise r² et le coefficient 4. Pour calculer, procède par étapes : calcule d'abord r³ (le rayon multiplié trois fois par lui-même), multiplie par π, puis multiplie par 4/3 (c'est-à-dire multiplie par 4 et divise par 3).

Prenons une boule de rayon r = 3 cm : r³ = 3 × 3 × 3 = 27, donc V = (4/3) × π × 27 = 36π cm³, ce qui fait environ 113 cm³. On peut laisser le résultat en valeur exacte (36π) ou donner une valeur approchée (≈ 113 cm³). Le volume s'exprime en unité au cube (cm³, m³…).

Le cours

Une boule est un solide plein : c'est l'ensemble des points situés à une distance du centre inférieure ou égale au rayon r. Sa surface est la sphère. Pour calculer le volume d'une boule de rayon r, on utilise la formule : V = (4/3) × π × r³.

Le rayon est élevé au cube, ce qui signifie r³ = r × r × r ; cette puissance 3 traduit les trois dimensions d'un volume. Il faut bien distinguer cette formule de celle de l'aire de la sphère, qui vaut 4 × π × r² : pour le volume, le coefficient est 4/3 et le rayon est au cube (r³) ; pour l'aire, le coefficient est 4 et le rayon est au carré (r²). Confondre ces deux formules est l'erreur la plus courante.

La démarche de calcul comporte trois étapes : (1) calculer r³ = r × r × r ; (2) multiplier par π ; (3) multiplier par 4/3 (soit multiplier par 4 puis diviser par 3). Exemple : pour une boule de rayon r = 3 cm, r³ = 3 × 3 × 3 = 27, puis V = (4/3) × π × 27 = 36π cm³ ≈ 113 cm³. Le résultat peut être donné en valeur exacte (avec π) ou en valeur approchée, et s'exprime dans une unité de volume (cm³, m³…).

Les erreurs fréquentes

On confond le volume de la boule (4/3) × π × r³ avec l'aire de la sphère 4 × π × r².

Le volume utilise le rayon au cube et le coefficient 4/3 : V = (4/3) × π × r³. L'aire de la sphère, elle, utilise le rayon au carré et le coefficient 4 : 4 × π × r². Ce sont deux formules différentes.

On élève le rayon au carré au lieu du cube, par exemple V = (4/3) × π × 3² pour r = 3.

Dans le volume d'une boule, le rayon est au cube : r³ = r × r × r. Pour r = 3, on calcule 3³ = 27 (et non 3² = 9), donc V = (4/3) × π × 27 = 36π.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la formule du volume d'une boule : V = (4/3) × π × r³, avec le rayon au cube.
• Distinguer le volume de la boule (4/3) × π × r³ de l'aire de la sphère 4 × π × r².
• Calculer le volume d'une boule de rayon donné, en valeur exacte (36π) et approchée (≈ 113).

Vérifie que tu as compris

1. Le volume d'une boule de rayon r est :

   Réponse (4/3) × π × r³

   La formule du volume de la boule est V = (4/3) × π × r³ (4 × π × r² est l'aire de la sphère).

2. Une boule a un rayon de 3 cm. Son volume est :

   Réponse 36π cm³

   V = (4/3) × π × r³ = (4/3) × π × 27 = (4 × 27)/3 × π = 36π cm³.

3. On double le rayon d'une boule. Par combien son volume est-il multiplié ?

   Réponse 8

   Le volume d'une boule est (4/3) × π × r³ : le rayon y intervient au CUBE. En remplaçant r par 2r, on obtient (4/3) × π × (2r)³ = (4/3) × π × 8r³, soit 8 fois le volume initial. Doubler donnerait 2 et le carré donnerait 4 : c'est bien 2³ = 8.