La translation

En une phrase

Une translation, c'est un glissement « tout droit » : tu déplaces toute la figure de la même distance, dans la même direction et le même sens. La figure et son image sont superposables.

Comprendre

Imagine que tu pousses une figure entière dans une direction, sans la tourner ni la déformer : c'est une translation. Le point clé, c'est que tous les points de la figure font exactement le même déplacement. Ce déplacement a trois caractéristiques qui doivent être identiques pour tous les points : la même longueur (la distance parcourue), la même direction (par exemple horizontale, ou en biais) et le même sens (par exemple vers la droite plutôt que vers la gauche).

C'est comme faire glisser un objet « tout droit » sur une table. Comme rien n'est tourné ni agrandi, la figure de départ et son image par la translation sont superposables : elles ont exactement la même forme et la même taille. Dans un repère, c'est très pratique : pour trouver l'image d'un point, tu ajoutes le même déplacement à ses coordonnées.

Par exemple, avec la translation « +3 en abscisse et +2 en ordonnée », le point A(1 ; 2) a pour image A'(4 ; 4), car 1+3 = 4 et 2+2 = 4. Tu appliques exactement le même +3 et +2 à chaque point de la figure. La translation fait partie des transformations qui conservent les longueurs et les angles : c'est ce qu'on appelle un déplacement.

Le cours

Une translation est une transformation du plan : elle fait glisser une figure sans la tourner ni la déformer. Sa propriété fondamentale est que tous les points sont déplacés de la même manière, c'est-à-dire de la même longueur, dans la même direction et dans le même sens. On peut décrire ce déplacement à l'aide d'une flèche : tous les points « suivent » la même flèche.

Comme la figure n'est ni tournée ni agrandie ni réduite, la figure de départ et son image par la translation sont superposables : elles ont exactement la même forme et la même taille. La translation conserve donc les longueurs, les angles, l'alignement et le parallélisme ; on dit que c'est un déplacement. Dans un repère, une translation se traduit par l'ajout d'un même déplacement aux coordonnées de chaque point.

Par exemple, la translation qui ajoute 3 à l'abscisse et 2 à l'ordonnée transforme un point M(x ; y) en M'(x+3 ; y+2). Ainsi, le point A(1 ; 2) a pour image A'(4 ; 4) car 1+3 = 4 et 2+2 = 4. Pour appliquer une translation à une figure, on calcule l'image de chacun de ses points avec le même déplacement, puis on les relie de la même façon que la figure de départ. Par exemple, le triangle ABC de sommets A(1 ; 2), B(3 ; 1) et C(2 ; 4) a pour image, par la translation « +3 ; +2 », le triangle A'B'C' de sommets A'(4 ; 4), B'(6 ; 3) et C'(5 ; 6) : les trois flèches AA', BB' et CC' sont parallèles, de même longueur et de même sens, et les deux triangles sont superposables.

C'est ce glissement répété qui engendre les frises et les pavages. La translation à connaître au collège est l'une des transformations géométriques de base, aux côtés de la symétrie et de la rotation.

Les erreurs fréquentes

On pense qu'une translation peut tourner ou agrandir la figure, ou que les points peuvent se déplacer de longueurs différentes.

Une translation glisse la figure sans la tourner ni la déformer : tous les points se déplacent exactement de la même longueur, dans la même direction et le même sens. La figure et son image sont donc superposables.

Dans un repère, on ajoute le déplacement à un seul point, ou on l'ajoute à l'abscisse mais pas à l'ordonnée.

Il faut ajouter le même déplacement à chaque point, et aux deux coordonnées : par exemple pour « +3 en abscisse, +2 en ordonnée », A(1 ; 2) devient A'(4 ; 4) (1+3 et 2+2).

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire une translation comme un glissement qui déplace tous les points de la même longueur, dans la même direction et le même sens.
• Savoir qu'une figure et son image par une translation sont superposables (même forme, même taille).
• Trouver l'image d'un point dans un repère en ajoutant le même déplacement à ses coordonnées (ex. A(1 ; 2) → A'(4 ; 4) pour +3 et +2).

Vérifie que tu as compris

1. Par la translation qui transforme A(1 ; 2) en B(4 ; 2), le déplacement est :

   Réponse +3 en abscisse, 0 en ordonnée

   De 1 à 4 : +3 en abscisse ; de 2 à 2 : 0 en ordonnée. Tous les points glissent de la même façon.

2. Une translation transforme A(2 ; 1) en A'(5 ; 4). Par cette même translation, le point B(0 ; 0) devient :

   Réponse (3 ; 3)

   Le déplacement est +3 en abscisse et +3 en ordonnée ; appliqué à (0 ; 0), il donne (3 ; 3).

3. Sur un quadrillage, une translation fait glisser chaque point de 4 carreaux vers la droite et de 3 carreaux vers le bas. Le point A(2 ; 5) devient :

   Réponse (6 ; 2)

   Vers la droite, on ajoute : 2 + 4 = 6. Vers le bas, on retranche : 5 − 3 = 2. L'image de A est donc le point (6 ; 2).