La fonction linéaire

En une phrase

Une fonction linéaire, c'est une machine qui multiplie toujours par le même nombre a : f(x) = a x. Elle traduit une proportionnalité, et sa courbe est une droite qui passe par l'origine du repère.

Comprendre

Une fonction linéaire est le type de fonction le plus simple : elle prend le nombre d'entrée et le multiplie par un même nombre fixe, appelé coefficient. On l'écrit f(x) = a x, où a est ce coefficient. Il n'y a qu'un seul nombre a et rien d'autre : pas d'addition, pas de terme ajouté à la fin.

Par exemple, avec f(x) = 3x, l'entrée 2 donne f(2) = 3 × 2 = 6, et l'entrée 5 donne f(5) = 3 × 5 = 15. À chaque fois, la sortie est obtenue en multipliant l'entrée par 3. C'est exactement ce qu'on appelle une situation de proportionnalité : la sortie est proportionnelle à l'entrée, et a est le coefficient de proportionnalité. Si tu doubles l'entrée, la sortie double aussi ; c'est la marque d'une fonction linéaire. Une conséquence importante : l'entrée 0 donne toujours la sortie 0, car a × 0 = 0. Du côté du graphique, cela se voit très bien : la représentation d'une fonction linéaire est une droite, et cette droite passe toujours par l'origine du repère, c'est-à-dire par le point (0 ; 0).

Retiens donc ces trois idées qui vont ensemble : une seule multiplication par a, une proportionnalité, et une droite qui passe par l'origine.

Le cours

Une fonction linéaire est une fonction qui, à un nombre d'entrée x, associe le produit de ce nombre par un coefficient fixe a. On l'écrit f(x) = a x (ou x ↦ a x), où a est un nombre donné appelé coefficient de la fonction linéaire. L'expression ne contient qu'un seul nombre, a, multiplié par x : il n'y a aucun terme ajouté.

Pour calculer une image, on remplace x par sa valeur et on multiplie par a. Par exemple, pour f(x) = 3x : f(2) = 3 × 2 = 6 et f(5) = 3 × 5 = 15. Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité : la grandeur de sortie est proportionnelle à la grandeur d'entrée, et le coefficient a est le coefficient de proportionnalité. Concrètement, si l'on multiplie l'entrée par un nombre, la sortie est multipliée par le même nombre (doubler l'entrée double la sortie).

De plus, l'image de 0 est toujours 0, car a × 0 = 0. La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère, le point de coordonnées (0 ; 0). Cette propriété est caractéristique : toute fonction linéaire a pour graphique une droite passant par l'origine, et le coefficient a indique l'inclinaison de cette droite. La fonction linéaire est en réalité un cas particulier de la fonction affine f(x) = a x + b, obtenu lorsque b = 0.

Les erreurs fréquentes

On croit qu'une fonction linéaire peut avoir un nombre ajouté, par exemple f(x) = 3x + 2.

Une fonction linéaire s'écrit f(x) = a x, avec seulement la multiplication par a et aucun terme ajouté. Dès qu'un nombre est ajouté (comme + 2), c'est une fonction affine, pas linéaire.

On pense que la droite d'une fonction linéaire peut passer n'importe où dans le repère.

La droite représentant une fonction linéaire passe toujours par l'origine (0 ; 0), car f(0) = a × 0 = 0. Si la droite ne passe pas par l'origine, la fonction n'est pas linéaire.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître et écrire une fonction linéaire sous la forme f(x) = a x, avec un seul coefficient a et aucun terme ajouté.
• Relier une fonction linéaire à une situation de proportionnalité, où a est le coefficient de proportionnalité (et f(0) = 0).
• Associer une fonction linéaire à sa représentation : une droite passant par l'origine du repère.

Vérifie que tu as compris

1. La représentation d'une fonction linéaire x ↦ ax est :

   Réponse une droite passant par l'origine

   Une fonction linéaire (proportionnalité) a pour graphe une droite passant par l'origine du repère.

2. La fonction linéaire f telle que f(2) = 10 a pour coefficient :

   Réponse 5

   Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax, donc a = f(2) / 2 = 10 / 2 = 5 ; f(x) = 5x.

3. Une fonction linéaire multiplie chaque entrée par 0,25. Que renvoie-t-elle pour l'entrée 12 ?

   Réponse 3

   Une fonction linéaire multiplie l'entrée par son coefficient : f(12) = 0,25 × 12 = 3. Multiplier par 0,25 revient à prendre le quart ; diviser par 0,25 (ce qui donnerait 48) reviendrait au contraire à multiplier par 4.