La fonction affine

En une phrase

Une fonction affine, c'est une machine qui multiplie l'entrée par un nombre a, puis ajoute un nombre b : f(x) = a x + b. Sa courbe est toujours une droite. La fonction linéaire est le cas où b = 0.

Comprendre

Une fonction affine se construit en deux temps : on prend le nombre d'entrée x, on le multiplie d'abord par un nombre a, puis on ajoute un nombre b. On l'écrit donc f(x) = a x + b. Il y a ici deux nombres qui interviennent : a, par lequel on multiplie, et b, que l'on ajoute à la fin.

Par exemple, avec f(x) = 3x − 2, l'entrée 2 donne f(2) = 3 × 2 − 2 = 6 − 2 = 4, et l'entrée 0 donne f(0) = 3 × 0 − 2 = −2. Attention à l'ordre des opérations : on multiplie par a avant d'ajouter b. La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite. Mais, contrairement à la fonction linéaire, cette droite ne passe pas forcément par l'origine : elle ne passe par le point (0 ; 0) que dans le cas particulier où b = 0. Justement, quand b = 0, l'expression devient f(x) = a x : on retrouve exactement une fonction linéaire.

Autrement dit, la fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine. Toutes les fonctions linéaires sont affines, mais toutes les fonctions affines ne sont pas linéaires (dès que b n'est pas nul, ce n'est plus une proportionnalité). Retiens donc : f(x) = a x + b, une droite pour graphique, et b = 0 redonne la fonction linéaire.

Le cours

Une fonction affine est une fonction qui, à un nombre d'entrée x, associe le nombre obtenu en multipliant x par un coefficient a, puis en ajoutant un nombre b. On l'écrit f(x) = a x + b (ou x ↦ a x + b), où a et b sont deux nombres donnés. Le nombre a est le coefficient par lequel on multiplie ; le nombre b est celui que l'on ajoute.

Pour calculer une image, on remplace x par sa valeur en respectant les priorités opératoires : on multiplie par a, puis on ajoute b. Par exemple, pour f(x) = 3x − 2 : f(2) = 3 × 2 − 2 = 6 − 2 = 4, et f(0) = 3 × 0 − 2 = −2. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Cette droite ne passe par l'origine du repère que si b = 0 ; sinon, elle coupe l'axe des ordonnées en un point qui dépend de b.

La fonction affine généralise la fonction linéaire : lorsque b = 0, l'expression f(x) = a x + b devient f(x) = a x, qui est une fonction linéaire. La fonction linéaire est donc le cas particulier de la fonction affine pour lequel b = 0. On peut résumer ainsi la relation entre les deux : toute fonction linéaire est une fonction affine (avec b = 0), mais une fonction affine n'est linéaire que si son terme ajouté b est nul. Dans tous les cas, le graphique reste une droite.

Les erreurs fréquentes

Pour calculer f(2) avec f(x) = 3x − 2, on fait 3 × (2 − 2) ou on ajoute b avant de multiplier.

On respecte les priorités : on multiplie d'abord par a, puis on ajoute b. Donc f(2) = 3 × 2 − 2 = 6 − 2 = 4, et non 3 × (2 − 2) = 0.

On croit que la droite d'une fonction affine passe toujours par l'origine, comme pour une fonction linéaire.

La droite d'une fonction affine f(x) = a x + b ne passe par l'origine que si b = 0. Dès que b n'est pas nul, la droite coupe l'axe des ordonnées ailleurs qu'en (0 ; 0).

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître et écrire une fonction affine sous la forme f(x) = a x + b, avec un nombre a multiplié et un nombre b ajouté.
• Calculer l'image d'un nombre en multipliant par a puis en ajoutant b (priorités respectées).
• Associer une fonction affine à une droite et savoir que la fonction linéaire est le cas particulier b = 0.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle expression définit une fonction affine ?

   Réponse f(x) = 3x − 2

   Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b : ici a = 3 et b = −2. Aucune des trois autres n'est de cette forme : x² et 3x² − 2 contiennent un carré, 5 ÷ x est un quotient par x. Attention, une fonction linéaire comme f(x) = 5x EST affine (cas particulier b = 0) : ce n'est jamais un contre-exemple.

2. Pour la fonction affine f(x) = −2x + 5, l'image de 4 est :

   Réponse −3

   f(4) = −2×4 + 5 = −8 + 5 = −3.

3. Un élève doit calculer f(5) pour f(x) = 4x − 3. Quelle ligne de calcul est correcte ?

   Réponse 4 × 5 − 3

   On remplace x par 5 dans 4x − 3 : f(5) = 4 × 5 − 3 = 20 − 3 = 17. On multiplie d'abord, on soustrait ensuite ; 4 × (5 − 3) = 8 serait faux.