L'équiprobabilité

En une phrase

L'équiprobabilité, c'est quand le hasard ne favorise aucune issue : elles ont toutes la même chance de sortir. Dans ce cas, pour trouver une probabilité, tu comptes les issues qui t'intéressent et tu divises par le nombre total d'issues.

Comprendre

Quand tu lances un dé équilibré, aucune face n'a plus de chance qu'une autre de tomber : le 1, le 2, le 3, le 4, le 5 et le 6 ont chacun exactement la même probabilité d'apparaître. On dit alors que les issues sont équiprobables, ou qu'il y a équiprobabilité. C'est le cas dès qu'un dispositif n'est pas truqué : un dé bien équilibré, une pièce de monnaie non truquée, ou un tirage au hasard dans un sac où tous les jetons sont semblables.

L'équiprobabilité simplifie énormément les calculs. Comme les issues ont toutes la même probabilité, la probabilité d'un événement se calcule en comptant : tu prends le nombre d'issues favorables (celles qui réalisent l'événement) et tu le divises par le nombre total d'issues possibles. Par exemple, avec un dé équilibré il y a 6 issues possibles, donc chaque face a la probabilité 1/6. La probabilité d'obtenir un nombre pair (2, 4 ou 6) vaut 3/6, c'est-à-dire 1/2 : il y a 3 issues favorables sur 6 au total.

Attention : ce calcul simple ne fonctionne QUE si les issues sont équiprobables. Si le dé était pipé, ou si certains jetons étaient plus gros que d'autres, on ne pourrait plus diviser ainsi. Repère donc toujours d'abord si tu es dans une situation équiprobable avant d'appliquer la formule.

Le cours

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne connaît pas le résultat à l'avance ; ses résultats possibles sont les issues. On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se produire : le hasard ne favorise aucune d'entre elles. Les situations équiprobables sont nombreuses et faciles à reconnaître : le lancer d'un dé équilibré (chaque face a la même chance), le lancer d'une pièce non truquée (pile et face ont la même chance), ou encore un tirage au hasard dans une urne où tous les objets sont indiscernables.

Dans une situation d'équiprobabilité, le calcul d'une probabilité devient un simple dénombrement. La probabilité d'un événement est égale au nombre d'issues favorables (celles qui réalisent l'événement) divisé par le nombre total d'issues possibles. Pour un dé équilibré, il y a 6 issues possibles, donc la probabilité d'obtenir une face donnée vaut 1/6. La probabilité d'obtenir un nombre pair (2, 4 ou 6) vaut 3/6 = 1/2, car il y a 3 issues favorables sur les 6 issues possibles.

Cette probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1. Il est essentiel de vérifier l'équiprobabilité avant d'utiliser cette formule : si le dispositif est truqué (dé pipé, roue déséquilibrée, jetons de tailles différentes), les issues n'ont plus la même probabilité et on ne peut plus se contenter de compter. Reconnaître une situation équiprobable est donc la première étape qui permet de calculer simplement une probabilité.

Les erreurs fréquentes

Appliquer la formule « favorables / total » même quand le dispositif est truqué, par exemple un dé pipé.

Le calcul favorables / total n'est valable QUE s'il y a équiprobabilité (toutes les issues ont la même probabilité). Avec un dé pipé, les faces n'ont pas la même chance, donc on ne peut pas diviser ainsi.

Croire que sur un dé équilibré certains nombres « sortent plus souvent » que d'autres.

Sur un dé équilibré, il y a équiprobabilité : chaque face a exactement la même probabilité 1/6 d'apparaître, aucun nombre n'est favorisé.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître une situation d'équiprobabilité (dé équilibré, pièce non truquée, tirage au hasard) où toutes les issues ont la même probabilité.
• Calculer, en situation équiprobable, la probabilité d'un événement comme le nombre d'issues favorables divisé par le nombre total d'issues.
• Justifier que la formule « favorables / total » n'est valable que si les issues sont équiprobables.

Vérifie que tu as compris

1. Une expérience aléatoire est équiprobable quand :

   Réponse toutes les issues ont la même probabilité

   En situation d'équiprobabilité, chaque issue a exactement la même chance de se produire (par ex. un dé ou une pièce équilibrés).

2. On lance un dé équilibré à 6 faces. La probabilité d'obtenir un nombre pair est :

   Réponse 1/2

   Les faces paires sont 2, 4 et 6, soit 3 issues favorables sur 6 : P = 3/6 = 1/2.

3. Pour un dé pipé, calculer une probabilité en divisant les issues favorables par le nombre total d'issues :

   Réponse est faux, car les issues ne sont pas équiprobables

   Le calcul « favorables ÷ total » suppose que toutes les issues ont la même probabilité. Sur un dé pipé, certaines faces sortent plus souvent que d'autres : la formule ne s'applique plus, il faut connaître la probabilité de chaque face.