Reconnaître par les diagonales

En une phrase

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent déjà en leur milieu. Si en plus elles ont la même longueur, c'est un rectangle ; si elles sont perpendiculaires, c'est un losange ; si elles sont les deux à la fois, c'est un carré.

Comprendre

Dans tout parallélogramme, les deux diagonales se coupent en leur milieu. Cette propriété se lit AUSSI dans l'autre sens, et c'est elle qui sert le plus souvent à démontrer : si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Autrement dit, il suffit de prouver que le point d'intersection des diagonales est le milieu de chacune d'elles pour conclure « c'est un parallélogramme ».

Mais en regardant de plus près ces diagonales, on peut deviner la nature exacte du quadrilatère sans même mesurer ses angles ni tous ses côtés. Première situation : si les diagonales ont la MÊME LONGUEUR, alors le parallélogramme est un rectangle. Deuxième situation : si les diagonales sont PERPENDICULAIRES (elles se croisent en formant un angle droit), alors le parallélogramme est un losange.

Troisième situation : si les diagonales sont à la fois de même longueur ET perpendiculaires, alors le parallélogramme est un carré, qui est justement à la fois un rectangle et un losange. Cet outil est très pratique en géométrie, surtout pour DÉMONTRER. Par exemple, dans un exercice de type brevet, on te demande souvent de montrer qu'un quadrilatère est un rectangle : il suffit de prouver d'abord que c'est un parallélogramme, puis que ses deux diagonales ont la même longueur.

C'est souvent plus simple que de vérifier les quatre angles un par un. Retiens donc la traduction : même longueur → rectangle, perpendiculaires → losange, les deux → carré.

Le cours

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent toujours en leur milieu. Cette propriété se lit dans les DEUX SENS, et c'est ce qui en fait un outil de démonstration : si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. C'est le critère de base — celui que l'on établit d'abord, avant de chercher une nature plus précise.

La propriété peut ensuite se renforcer dans les cas particuliers et sert alors à reconnaître ou à démontrer la nature exacte du quadrilatère. Premier critère : si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle ; réciproquement, les diagonales d'un rectangle sont toujours égales. Deuxième critère : si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange ; réciproquement, les diagonales d'un losange sont toujours perpendiculaires.

Troisième critère : si un parallélogramme a ses diagonales à la fois de même longueur et perpendiculaires, alors c'est un carré, ce qui est cohérent puisque le carré est à la fois un rectangle (diagonales égales) et un losange (diagonales perpendiculaires). Ces critères diagonaux constituent une méthode de démonstration très utile au collège. Pour prouver qu'un quadrilatère est un rectangle, on montre d'abord qu'il s'agit d'un parallélogramme — le plus souvent en établissant que ses diagonales se coupent en leur milieu, parfois en montrant que ses côtés opposés sont parallèles ou de même longueur —, puis on établit l'égalité des longueurs des deux diagonales : on conclut alors que c'est un rectangle.

La même démarche, avec la perpendicularité, démontre qu'un parallélogramme est un losange. Travailler sur les diagonales évite ainsi de vérifier séparément tous les angles ou tous les côtés.

Les erreurs fréquentes

Des diagonales perpendiculaires suffisent à elles seules pour conclure qu'un quadrilatère est un losange.

La perpendicularité des diagonales ne donne le losange que si on sait déjà que la figure est un parallélogramme (diagonales se coupant en leur milieu). Il faut donc d'abord établir le parallélogramme, puis utiliser le critère sur les diagonales.

On confond les critères : des diagonales perpendiculaires donneraient un rectangle, et des diagonales de même longueur un losange.

C'est l'inverse : des diagonales de MÊME LONGUEUR donnent un rectangle, des diagonales PERPENDICULAIRES donnent un losange. Les deux à la fois donnent un carré.

Tu maîtrises la notion si…

• Relier des diagonales de même longueur au rectangle, perpendiculaires au losange, et les deux à la fois au carré.
• Argumenter qu'un parallélogramme est un rectangle, un losange ou un carré en examinant ses diagonales.
• Mener une démonstration de type brevet : prouver d'abord le parallélogramme, puis utiliser le critère des diagonales pour conclure.

Vérifie que tu as compris

1. Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est :

   Réponse un rectangle

   Diagonales de même longueur ⇒ rectangle. (Diagonales perpendiculaires ⇒ losange ; les deux ⇒ carré.)

2. Les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires ET de même longueur. Quelle est sa nature la PLUS PRÉCISE ?

   Réponse un carré

   Diagonales de même milieu ⇒ parallélogramme ; perpendiculaires ⇒ losange ; de même longueur ⇒ rectangle. Étant à la fois losange et rectangle, c'est un carré — la nature la plus précise. (Un carré EST un rectangle et EST un losange, mais dire seulement « rectangle » ou seulement « losange » n'utilise pas toute l'information.)

3. On trace deux segments [RT] et [SU] qui se croisent exactement en leur milieu commun. Quelle figure obtient-on en reliant R, S, T puis U ?

   Réponse un parallélogramme

   [RT] et [SU] deviennent les diagonales du quadrilatère RSTU. Comme elles se coupent en leur milieu, RSTU est un parallélogramme. Il ne serait un losange que si, en plus, ces diagonales étaient perpendiculaires.