Le parallélogramme

En une phrase

Un parallélogramme est un quadrilatère (4 côtés) dont les côtés d'en face sont parallèles deux à deux. Du coup, ses côtés opposés sont égaux, ses angles opposés sont égaux, et ses deux diagonales se croisent pile en leur milieu.

Comprendre

Un parallélogramme est d'abord un quadrilatère, c'est-à-dire une figure à quatre côtés. Ce qui le définit, c'est une condition sur ses côtés : les côtés opposés (ceux qui sont l'un en face de l'autre) sont parallèles deux à deux. Il y a donc deux paires de côtés parallèles.

À partir de cette seule définition découlent plusieurs propriétés très utiles, qu'il faut savoir relier à la figure. Première propriété : les côtés opposés ne sont pas seulement parallèles, ils sont aussi égaux (de même longueur). Deuxième propriété : les angles opposés (les angles d'en face) sont égaux entre eux.

Troisième propriété, sur les diagonales : si tu traces les deux diagonales du parallélogramme, elles se coupent en un point qui est le milieu de chacune d'elles. Autrement dit, le point d'intersection partage chaque diagonale en deux longueurs égales : c'est le centre du parallélogramme. Ces propriétés sont liées entre elles et viennent toutes du parallélisme des côtés opposés.

Elles servent à reconnaître un parallélogramme, à compléter une figure, ou à calculer des longueurs et des angles manquants. Retiens donc la définition (côtés opposés parallèles) et les trois propriétés qui en découlent : côtés opposés égaux, angles opposés égaux, diagonales qui se coupent en leur milieu.

Le cours

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Cette définition repose sur le parallélisme : les deux paires de côtés opposés sont parallèles deux à deux. De cette définition découlent trois propriétés essentielles, qu'il faut savoir relier à la figure. 1) Les côtés opposés d'un parallélogramme sont de même longueur : ils sont à la fois parallèles et égaux. 2) Les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux ; de plus, deux angles consécutifs (qui se suivent) sont supplémentaires, leur somme vaut 180°. 3) Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : leur point d'intersection est le milieu de chacune des deux diagonales, et c'est le centre de symétrie de la figure.

Ces propriétés permettent de calculer des longueurs ou des angles manquants et de justifier des constructions. Elles servent aussi de critères : pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on peut par exemple vérifier que ses côtés opposés sont parallèles, ou que ses diagonales se coupent en leur milieu. Le parallélogramme est par ailleurs la figure de base des quadrilatères particuliers : le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes possédant une propriété supplémentaire.

Il est donc important de bien maîtriser sa définition et ses propriétés avant d'aborder ces cas particuliers.

Les erreurs fréquentes

Dans un parallélogramme, ce sont les côtés opposés qui sont perpendiculaires.

Non : les côtés opposés d'un parallélogramme sont PARALLÈLES (et égaux), pas perpendiculaires. Des côtés perpendiculaires correspondent aux angles droits du rectangle, qui est un cas particulier.

Les diagonales d'un parallélogramme ont toujours la même longueur.

Non : dans un parallélogramme quelconque, les diagonales se coupent en leur milieu mais n'ont pas forcément la même longueur. L'égalité des diagonales caractérise le rectangle.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire un parallélogramme comme un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
• Relier le parallélogramme à ses propriétés : côtés opposés égaux et angles opposés égaux.
• Reconnaître que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Vérifie que tu as compris

1. Dans un parallélogramme, les diagonales :

   Réponse se coupent en leur milieu

   Propriété du parallélogramme : ses diagonales se coupent en leur milieu (point d'intersection = milieu de chacune).

2. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont :

   Réponse parallèles et de même longueur

   Le parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux et de même longueur.

3. Le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme est aussi son :

   Réponse centre de symétrie

   Un parallélogramme admet un centre de symétrie : le point O où se croisent ses diagonales. La symétrie de centre O échange A et C, puis B et D. Un axe de symétrie serait une droite, pas un point.