Multiplier des fractions

En une phrase

Multiplier deux fractions, c'est très simple : tu multiplies le haut par le haut et le bas par le bas. Pas besoin de chercher un dénominateur commun comme pour l'addition.

Comprendre

Multiplier deux fractions est l'une des opérations les plus faciles sur les fractions, à condition de ne pas la confondre avec l'addition. La règle tient en une phrase : on multiplie les numérateurs (les nombres du haut) entre eux pour obtenir le nouveau numérateur, et on multiplie les dénominateurs (les nombres du bas) entre eux pour obtenir le nouveau dénominateur. Prenons l'exemple de référence : (2/3) × (4/5).

On multiplie les numérateurs : 2 × 4 = 8. On multiplie les dénominateurs : 3 × 5 = 15. On obtient donc (2/3) × (4/5) = 8/15. C'est tout. Le piège énorme, celui qu'il faut absolument éviter, est de croire qu'il faut mettre les deux fractions au même dénominateur avant de multiplier. NON : la recherche d'un dénominateur commun sert pour l'addition et la soustraction de fractions, mais PAS pour la multiplication.

Pour multiplier, on prend les fractions telles qu'elles sont. Une astuce utile : si on peut simplifier (par exemple en barrant un facteur commun entre un numérateur et un dénominateur) avant de multiplier, le calcul est plus rapide et le résultat est déjà sous forme simplifiée. Mais même sans simplifier, la méthode haut × haut et bas × bas donne toujours le bon résultat.

Retiens bien la différence : pour additionner deux fractions on cherche le même dénominateur, pour les multiplier on ne le cherche pas, on multiplie directement en ligne.

Le cours

Multiplier deux fractions consiste à multiplier leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux. Autrement dit, pour deux fractions a/b et c/d, on a (a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d). On multiplie donc le haut par le haut et le bas par le bas, sans chercher de dénominateur commun.

Exemple de référence à connaître : (2/3) × (4/5). On calcule le numérateur du résultat : 2 × 4 = 8. On calcule le dénominateur du résultat : 3 × 5 = 15. On obtient donc (2/3) × (4/5) = (2 × 4) / (3 × 5) = 8/15. Il est essentiel de ne pas confondre la multiplication avec l'addition de fractions : pour additionner deux fractions de dénominateurs différents, on doit d'abord les réduire au même dénominateur ; pour les multiplier, ce n'est pas nécessaire, on multiplie directement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Lorsque c'est possible, on peut simplifier la fraction avant ou après la multiplication, afin de donner le résultat sous forme la plus simple.

Par exemple, dans (3/4) × (2/9), on peut simplifier en remarquant que 2 et 4 ont 2 en commun et que 3 et 9 ont 3 en commun, ce qui simplifie le calcul. Mais la méthode de base reste toujours valable : multiplier les numérateurs entre eux, puis les dénominateurs entre eux. Cette opération est centrale, car elle sert ensuite pour la division de fractions (diviser, c'est multiplier par l'inverse) et pour les calculs de proportions.

Les erreurs fréquentes

On cherche un dénominateur commun avant de multiplier, comme pour l'addition.

Pour multiplier, on ne cherche PAS de dénominateur commun : on multiplie directement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. (2/3) × (4/5) = 8/15.

On multiplie les numérateurs mais on garde un seul dénominateur, par exemple (2/3) × (4/5) = 8/5 ou 8/3.

On multiplie aussi les dénominateurs entre eux : 3 × 5 = 15. Le résultat est donc 8/15, pas 8/5 ni 8/3.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la règle : pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
• Savoir qu'on ne cherche pas de dénominateur commun pour multiplier deux fractions.
• Justifier (2/3) × (4/5) = (2 × 4) / (3 × 5) = 8/15.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (4/9) × (5/7) ?

   Réponse 20/63

   On multiplie les numérateurs entre eux (4 × 5 = 20) et les dénominateurs entre eux (9 × 7 = 63) : le résultat est 20/63, déjà irréductible. Additionner les deux étages donnerait 9/16, mélanger les deux opérations 20/16, et garder le premier numérateur 4/63.

2. Combien font (2/5) × (3/7) ?

   Réponse 6/35

   On multiplie les numérateurs (2 × 3 = 6) et les dénominateurs (5 × 7 = 35), d'où 6/35.

3. Pour multiplier deux fractions, faut-il d'abord les mettre au même dénominateur ?

   Réponse non, jamais : haut × haut et bas × bas

   Le dénominateur commun sert uniquement à l'addition et à la soustraction. Pour un produit, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : (2/3) × (4/5) = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15.