Additionner des fractions — 4ᵉ

En une phrase

Tu ne peux pas additionner des fractions tant qu'elles n'ont pas le même dénominateur (le nombre du bas). Tu les mets d'abord au même dénominateur, et seulement après tu additionnes les numérateurs (les nombres du haut).

Comprendre

Une fraction, c'est un partage en parts égales : le dénominateur (en bas) dit en combien de parts on coupe, le numérateur (en haut) dit combien de parts on prend. Pour additionner deux fractions, il faut que les parts aient la même taille, donc le même dénominateur. C'est comme des parts de gâteau : tu peux ajouter des sixièmes à des sixièmes, mais pas directement des demis à des tiers, car ce ne sont pas les mêmes morceaux.

La méthode tient en deux temps. Premier temps : réduire au même dénominateur. On cherche un dénominateur commun (souvent en multipliant les deux dénominateurs, ou en prenant un multiple commun plus petit) et on transforme chaque fraction en multipliant le haut ET le bas par le même nombre, ce qui ne change pas sa valeur.

Par exemple 1/2 = 3/6 (on multiplie par 3 en haut et en bas) et 1/3 = 2/6 (on multiplie par 2). Deuxième temps : maintenant que les deux fractions ont le même dénominateur, on additionne seulement les numérateurs et on garde le dénominateur commun : 3/6 + 2/6 = 5/6. Le dénominateur ne s'additionne jamais : 6 + 6 n'a aucun sens ici, il reste 6. C'est l'erreur la plus fréquente. Une fois le résultat obtenu, on regarde si on peut le simplifier.

Retiens donc l'ordre : même dénominateur d'abord, addition des numérateurs ensuite.

Le cours

Additionner deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur demande une étape préalable : la réduction au même dénominateur. En effet, une addition de fractions n'a de sens que si les parts comparées ont la même taille, c'est-à-dire le même dénominateur. La règle est la suivante. 1) On choisit un dénominateur commun aux deux fractions : un multiple commun des deux dénominateurs.

Le produit des deux dénominateurs convient toujours ; un multiple commun plus petit donne des calculs plus simples. 2) On transforme chaque fraction pour qu'elle ait ce dénominateur, en multipliant son numérateur et son dénominateur par le même nombre. Multiplier le haut et le bas par un même nombre ne change pas la valeur de la fraction. 3) Quand les deux fractions ont le même dénominateur, on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur commun. 4) On simplifie le résultat si c'est possible. Exemple : pour 1/2 + 1/3, un dénominateur commun est 6 (= 2 × 3).

On écrit 1/2 = 3/6 (numérateur et dénominateur multipliés par 3) et 1/3 = 2/6 (multipliés par 2). On additionne alors les numérateurs : 3/6 + 2/6 = 5/6. Le dénominateur reste 6, car on n'additionne jamais les dénominateurs. La fraction 5/6 ne se simplifie pas, c'est le résultat.

La même méthode s'applique à la soustraction : on réduit au même dénominateur, puis on soustrait les numérateurs. L'essentiel à retenir tient en une phrase : on ne peut additionner que des fractions de même dénominateur, donc on réduit d'abord, puis on additionne uniquement les numérateurs.

Les erreurs fréquentes

On additionne les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : 1/2 + 1/3 = 2/5.

On n'additionne jamais les dénominateurs. Il faut d'abord réduire au même dénominateur, puis additionner seulement les numérateurs : 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

On met les fractions au même dénominateur, mais on ne change que le dénominateur sans toucher au numérateur : 1/2 = 1/6.

Quand on multiplie le dénominateur par un nombre, on doit multiplier le numérateur par le même nombre, sinon la valeur change. 1/2 = 3/6 (et non 1/6), car on multiplie le haut et le bas par 3.

Tu maîtrises la notion si…

• Expliquer pourquoi il faut réduire deux fractions au même dénominateur avant de les additionner.
• Réduire deux fractions au même dénominateur en multipliant numérateur et dénominateur par le même nombre.
• Additionner deux fractions de dénominateurs différents en additionnant seulement les numérateurs, par exemple 1/2 + 1/3 = 5/6.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font 1/2 + 1/3 ?

   Réponse 5/6

   On réduit au même dénominateur 6 : 1/2 = 3/6 et 1/3 = 2/6, donc 3/6 + 2/6 = 5/6.

2. Combien font 2/3 + 1/4 ?

   Réponse 11/12

   On réduit au dénominateur commun 12 : 2/3 = 8/12 et 1/4 = 3/12, donc 8/12 + 3/12 = 11/12.

3. Léa a mangé 3/8 d'une tarte et son frère 1/4. Quelle part de la tarte reste-t-il ?

   Réponse 3/8

   Ensemble ils ont mangé 3/8 + 1/4 = 3/8 + 2/8 = 5/8 de la tarte. Il reste donc 8/8 − 5/8 = 3/8. La réponse 5/8 est la part mangée et non la part restante ; 4/12 vient de l'addition fautive (3 + 1)/(8 + 4) ; 1/8 d'une conversion erronée de 1/4 en 4/8.