Moyenne ou médiane ?

L'essentiel

Moyenne et médiane sont deux façons de résumer une série, mais elles ne réagissent pas de la même manière aux valeurs extrêmes. La MOYENNE utilise toutes les valeurs et leur somme : une seule valeur très grande (ou très petite) la « tire » vers le haut (ou vers le bas). La MÉDIANE, elle, ne dépend que du rang des valeurs : une valeur extrême ne la déplace presque pas.

Exemple parlant : la série 5, 6, 7, 8, 100. La moyenne est (5 + 6 + 7 + 8 + 100) ÷ 5 = 126 ÷ 5 = 25,2. Pourtant, quatre des cinq valeurs valent 8 ou moins ! La médiane, elle, est 7 (la valeur du milieu). Ici, la médiane (7) représente bien mieux le « centre » de la série que la moyenne (25,2), gonflée par la valeur extrême 100. Conclusion : quand une série contient une valeur nettement à part, on préfère souvent la médiane pour décrire son niveau habituel.

Comprendre

Ce concept compare la SENSIBILITÉ de la moyenne et de la médiane aux valeurs extrêmes. LA MOYENNE EST SENSIBLE. Comme elle repose sur la somme de toutes les valeurs, modifier ou ajouter une valeur extrême change fortement la moyenne.

Une valeur très grande la tire vers le haut, une valeur très petite vers le bas. LA MÉDIANE RÉSISTE. Comme elle ne dépend que de la position (du rang) des valeurs, remplacer la plus grande valeur par une valeur encore plus grande ne change pas la médiane.

EXEMPLE DE RÉFÉRENCE. Série 5, 6, 7, 8, 100. Moyenne = (5 + 6 + 7 + 8 + 100) ÷ 5 = 126 ÷ 5 = 25,2. Médiane = 7 (la valeur du milieu de la série ordonnée). Ici, 4 valeurs sur 5 sont ≤ 8 : la médiane 7 décrit fidèlement le « centre » de la série, tandis que la moyenne 25,2 est trompeuse, gonflée par la seule valeur 100. QUEL INDICATEUR CHOISIR ?

Lorsqu'une série est régulière, moyenne et médiane sont proches et l'un ou l'autre convient. Lorsqu'une série contient une (ou quelques) valeur(s) extrême(s), la médiane représente généralement mieux la tendance habituelle. C'est pourquoi, pour des salaires, des prix de logements, etc., on utilise souvent la médiane plutôt que la moyenne.

Le cours

Moyenne et médiane sont deux indicateurs de position, mais choisir le bon suppose de comprendre comment chacun réagit aux valeurs extrêmes. SENSIBILITÉ DE LA MOYENNE. La moyenne se calcule à partir de la SOMME de toutes les valeurs : chaque valeur y contribue par sa taille.

Une valeur extrême (très grande ou très petite) modifie donc fortement la moyenne, en la tirant de son côté. ROBUSTESSE DE LA MÉDIANE. La médiane ne dépend que du RANG des valeurs, pas de leur taille.

On peut remplacer la plus grande valeur par une valeur bien plus grande encore : tant que l'ordre ne change pas, la médiane reste la même. La médiane est donc « robuste » : elle résiste aux valeurs extrêmes. EXEMPLE DÉTAILLÉ.

Considérons 5, 6, 7, 8, 100. Moyenne = (5 + 6 + 7 + 8 + 100) ÷ 5 = 126 ÷ 5 = 25,2. Médiane = 7 (valeur du milieu de la série ordonnée). Bien que la moyenne soit 25,2, aucune des quatre premières valeurs n'atteint 9 : la moyenne ne représente PAS le niveau habituel de la série. La médiane 7, elle, le représente fidèlement.

CHOISIR L'INDICATEUR. Série sans valeur extrême → moyenne et médiane sont proches, les deux conviennent. Série avec valeur(s) extrême(s) → la médiane est souvent plus représentative.

C'est la raison pour laquelle on publie fréquemment le salaire MÉDIAN ou le prix MÉDIAN d'un logement plutôt que leur moyenne. À RETENIR : (1) la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane leur résiste ; (2) en présence d'une valeur extrême, la médiane représente souvent mieux le centre ; (3) exemple : 5, 6, 7, 8, 100 → moyenne 25,2 mais médiane 7.

Les erreurs fréquentes

On croit que moyenne et médiane sont toujours proches ou égales.

Elles ne sont proches que si la série est régulière. Une valeur extrême écarte fortement la moyenne de la médiane : pour 5, 6, 7, 8, 100, la moyenne est 25,2 mais la médiane 7.

On pense qu'ajouter une valeur très grande change la médiane autant que la moyenne.

La médiane ne dépend que du rang des valeurs : une valeur extrême la déplace très peu, alors qu'elle tire nettement la moyenne.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer la moyenne et la médiane d'une série contenant une valeur extrême.
• Expliquer que la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, pas la médiane.
• Choisir l'indicateur le plus représentatif d'une série et justifier ce choix.

Vérifie que tu as compris

1. Quel indicateur est le plus influencé par une valeur extrême (très grande ou très petite) ?

   Réponse La moyenne

   La moyenne utilise toutes les valeurs : une valeur extrême la « tire » vers le haut ou vers le bas. La médiane, elle, ne dépend que du rang des valeurs, donc elle résiste aux valeurs extrêmes.

2. Pour la série 5, 6, 7, 8, 100, la moyenne vaut 25,2 et la médiane vaut 7. Quel indicateur représente le mieux le « centre » de la série ?

   Réponse La médiane (7), car la moyenne est tirée vers le haut par le 100

   Quatre des cinq valeurs valent 8 ou moins : la médiane 7 représente bien ce « centre ». La moyenne 25,2 est trompeuse ici, gonflée par la valeur extrême 100. (L'étendue 100 − 5 = 95 mesure la dispersion, pas le centre.)

3. Une série de 5 nombres a pour moyenne 20 et pour médiane 8. Que peut-on en déduire ?

   Réponse Une valeur très grande tire la moyenne vers le haut

   Moyenne et médiane ne s'écartent autant que si la série contient une valeur extrême : ici, au moins un nombre très grand tire la moyenne (20) bien au-dessus de la médiane (8). La médiane, elle, ne dépend que du rang des valeurs, donc elle résiste.