Les puissances — 3ᵉ

En une phrase

Une puissance, c'est une multiplication où on répète le même nombre. a^n veut dire « le produit de n facteurs tous égaux à a ». Par exemple 2^5 = 2×2×2×2×2 = 32. Et 10^n, c'est juste 1 suivi de n zéros.

Comprendre

Quand tu multiplies plusieurs fois le même nombre par lui-même, tu peux l'écrire plus court avec une puissance. La puissance a^n se lit « a exposant n » : a est la base, n est l'exposant, et l'exposant indique combien de fois la base apparaît dans la multiplication. Donc a^n est le produit de n facteurs tous égaux à a.

Par exemple 2^5 = 2×2×2×2×2 : il y a cinq facteurs 2, et le résultat est 32. Attention, l'exposant n'est pas un facteur de multiplication : 2^5 n'est pas 2×5 = 10. Deux cas particuliers sont à connaître : a^1 = a (un seul facteur, donc le nombre lui-même) et a^0 = 1 (par convention, toute puissance d'exposant 0 vaut 1). Les puissances de 10 sont très pratiques : 10^n est égal à 1 suivi de n zéros (10^3 = 1000, avec trois zéros). Enfin, une règle de calcul utile : quand on multiplie deux puissances d'un même nombre, on additionne les exposants, soit a^m × a^n = a^(m+n) (par exemple 10^2 × 10^3 = 10^5).

Les puissances servent à manipuler facilement les très grands et les très petits nombres.

Le cours

Pour un nombre a et un entier n supérieur ou égal à 1, la puissance a^n est définie comme le produit de n facteurs tous égaux à a : a^n = a × a × … × a (n fois). Dans l'écriture a^n, a s'appelle la base et n l'exposant. L'exposant compte le nombre de facteurs, ce n'est pas un coefficient multiplicateur : 2^5 = 2×2×2×2×2 = 32, et surtout pas 2×5. Cas particuliers à mémoriser : a^1 = a (un seul facteur) et, par convention, a^0 = 1 pour tout nombre a non nul.

Les puissances de 10 ont une écriture remarquable : 10^n est égal à 1 suivi de n zéros (10^1 = 10, 10^2 = 100, 10^3 = 1000…). Elles servent à écrire commodément les grands nombres, et avec les exposants négatifs (10^(-n) = 1 divisé par 10^n) on écrit aussi les petits nombres : 10^(-3) = 0,001. Règle de calcul fondamentale : pour multiplier deux puissances d'un même nombre, on garde la base et on additionne les exposants : a^m × a^n = a^(m+n). Par exemple 10^2 × 10^3 = 10^(2+3) = 10^5 = 100 000. Ces propriétés rendent les puissances indispensables, notamment pour la notation scientifique, où l'on écrit un nombre sous la forme a × 10^n.

Les erreurs fréquentes

On calcule a^n en multipliant la base par l'exposant, par exemple 2^5 = 2×5 = 10.

L'exposant indique le nombre de facteurs, pas un facteur : 2^5 = 2×2×2×2×2 = 32, et non 2×5 = 10.

On pense que a^0 vaut 0 ou que a^0 vaut a.

Par convention, toute puissance d'exposant 0 vaut 1 : a^0 = 1 (par exemple 5^0 = 1). C'est a^1 qui est égal à a.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire la puissance a^n comme le produit de n facteurs tous égaux à a et la calculer (par exemple 2^5 = 32).
• Connaître les cas particuliers a^1 = a et a^0 = 1 (pour a non nul).
• Relier les puissances de 10 à l'écriture des nombres (10^n = 1 suivi de n zéros) et appliquer a^m × a^n = a^(m+n).

Vérifie que tu as compris

1. Quelle écriture en puissance correspond à 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ?

   Réponse 2⁵

   Une puissance note une multiplication de facteurs IDENTIQUES : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 compte cinq facteurs 2, donc s'écrit 2⁵ (et vaut 32). Il ne faut pas intervertir base et exposant, car 5² = 25 ; et ni 2 × 5 = 10 ni 2 × 2 × 5 = 20 ne sont des puissances, car leurs facteurs ne sont pas tous identiques.

2. Parmi ces égalités, laquelle est FAUSSE ?

   Réponse 3⁴ = 12

   Une puissance n'est pas une multiplication de la base par l'exposant : 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81, et non 3 × 4 = 12. C'est l'erreur la plus fréquente. Les trois autres égalités sont exactes : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, 2⁶ = 64 et 4² = 16.

3. Le produit 3² × 3⁵ s'écrit plus simplement :

   Réponse 3⁷

   Pour multiplier deux puissances de MÊME base, on garde la base et on ADDITIONNE les exposants : 2 + 5 = 7, donc 3² × 3⁵ = 3⁷. Vérification : 3² × 3⁵ = 9 × 243 = 2187, et 3⁷ = 2187. Il ne faut pas multiplier les exposants (3¹⁰), ni multiplier les bases entre elles (9⁷ ou 6⁷) : la base ne change jamais.