La racine carrée

En une phrase

La racine carrée d'un nombre a (positif), c'est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne a. Par exemple √9 = 3 car 3 × 3 = 9. C'est l'opération inverse du « au carré ».

Comprendre

Quand tu mets un nombre au carré, tu le multiplies par lui-même : 5² = 5 × 5 = 25. La racine carrée fait l'opération inverse : à partir de 25, elle te redonne 5. La racine carrée d'un nombre positif a, qu'on écrit √a, est le nombre POSITIF dont le carré vaut a. Attention à deux pièges. Premier piège : on ne peut prendre la racine carrée que d'un nombre positif ou nul (a ≥ 0), car aucun nombre élevé au carré ne donne un résultat négatif.

Deuxième piège, le plus fréquent : la racine carrée est toujours positive. √49 = 7, et seulement 7, jamais −7, même si (−7)² fait aussi 49. La notation √ désigne par convention le résultat positif. Tu dois connaître par cœur quelques valeurs exactes : √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10. Comme racine carrée et carré sont inverses l'une de l'autre, on a deux égalités très utiles : (√a)² = a et √a × √a = a (pour a positif). La racine carrée sert beaucoup en géométrie : par exemple, pour retrouver la longueur d'un côté à partir du théorème de Pythagore.

Le cours

Élever un nombre au carré, c'est le multiplier par lui-même : pour un nombre x, son carré est x² = x × x. La racine carrée est l'opération inverse. La racine carrée d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré est égal à a.

On ne définit la racine carrée que pour les nombres positifs ou nuls : √a n'existe que si a ≥ 0, car le carré d'un nombre est toujours positif ou nul. Point essentiel : par convention, √a désigne toujours le résultat POSITIF. Ainsi √49 = 7 (et non −7), même si (−7)² = 49 lui aussi : la notation racine carrée ne renvoie que la valeur positive.

Les valeurs exactes à connaître au collège sont : √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9 et √100 = 10. Ces nombres (0, 1, 4, 9, 16, 25…) sont les carrés parfaits, c'est-à-dire les carrés d'entiers. Puisque carré et racine carrée sont des opérations inverses, on dispose de deux relations fondamentales, valables pour tout a positif : (√a)² = a, et aussi √a × √a = a. Par exemple (√7)² = 7 et √5 × √5 = 5. La racine carrée intervient notamment en géométrie : avec le théorème de Pythagore, on calcule un carré de longueur, puis on prend sa racine carrée pour obtenir la longueur cherchée.

Les erreurs fréquentes

Penser que √49 = ±7, donc que la racine carrée a deux résultats, un positif et un négatif.

La racine carrée d'un nombre positif est toujours POSITIVE : √49 = 7, seulement 7. Même si (−7)² = 49, la notation √ désigne par convention uniquement le résultat positif.

Croire que √(a) revient à diviser a par 2, par exemple écrire √16 = 8.

La racine carrée n'est pas une division par 2 : √16 = 4 car 4 × 4 = 16 (et non 8, car 8 × 8 = 64). Il faut chercher le nombre dont le CARRÉ vaut a, pas sa moitié.

Tu maîtrises la notion si…

• Identifier √a comme le nombre positif dont le carré vaut a, pour a positif (a ≥ 0).
• Donner les valeurs exactes des racines carrées des carrés parfaits : √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √49 = 7, √100 = 10.
• Relier carré et racine carrée comme opérations inverses en utilisant (√a)² = a et √a × √a = a.

Vérifie que tu as compris

1. Combien vaut √49 ?

   Réponse 7

   √49 est le nombre POSITIF dont le carré vaut 49 : 7² = 49, donc √49 = 7.

2. Combien vaut √144 ?

   Réponse 12

   √144 est le nombre positif dont le carré vaut 144 : 12² = 144, donc √144 = 12.

3. Entre quels deux entiers consécutifs se trouve √30 ?

   Réponse 5 et 6

   On encadre 30 par deux carrés parfaits : 5² = 25 et 6² = 36, donc 25 < 30 < 36. La racine carrée conserve l'ordre, d'où 5 < √30 < 6. À la calculatrice, √30 ≈ 5,48, ce qui confirme l'encadrement. L'erreur classique consiste à diviser 30 par 2, ce qui n'a rien à voir avec une racine carrée.